Identifique a função z=f(x, y) como combinação de funções elementares do cálculo e deduza que ela é contínua em seu domínio.
f(x, y)=arcsen(y / x)

Passo 1

O enunciado pede para identificar a função f(x,y)=arcsinl(tfracyxr) como combinação de funções elementares e deduzir sua continuidade no domínio natural.

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio natural de f. Para que arcsin(u) esteja definido, precisamos de -1<= u<=1. Como u=y/x, exigimos também xneq0. Assim
D=(x,y)inR^2:;xneq0e-1<=tfracyx<=1 Podemos reescrever alternativamente a condição -1<= y/x<=1 como
|y|<=|x|, xneq0

Passo 3

Em seguida identificamos f como composição de funções elementares contínuas em seus respectivos domínios: primeiro a projeção (x,y)mapsto(y,x), depois a divisão (y,x)mapsto y/x, e por fim a função arcsin. Sabemos que a divisão (y,x)mapsto y/x é contínua para xneq0 e que arcsincolon[-1,1]toR é contínua em [-1,1].

Passo 4

Como composição de funções contínuas é contínua, concluímos que f(x,y)=arcsinl(tfracyxr) é contínua em todo o domínio D obtido. Portanto, f é contínua em (D={(x,y):x\neq0,;|y|\le|x|}.

Resposta

A função f é contínua em seu domínio D = { (x,y) ∈ ℝ² : x ≠ 0 e |y| ≤ |x| }.

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