O intervalo de convergência da série sumn=1^infty (x-1)^nn 5^2 n é:
a) [-22,24]
b) [-24,26)
c) [-5,5)
d) [-25,26)
e) (-20,20)
f) NDR

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o intervalo de convergência da série sumn=1^infty (x-1)^nn cdot 5^2n. Vamos usar o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar onde essa série converge.

Passo 2

Primeiro, aplicamos o Teste da Raiz. A ideia é calcular o limite da raiz n-ésima do termo geral da série:
L = limn to infty raiz[n]| (x-1)^nn cdot 5^2n |

Passo 3

Simplificando a expressão dentro da raiz:
L = limn to infty |x-1|5^2 cdot raiz[n]1n
Sabemos que limn to infty raiz[n]1n = 1, então:
L = |x-1|25

Passo 4

Para a série convergir, precisamos que L < 1:
|x-1|25 < 1
Isso implica:
|x-1| < 25

Passo 5

Resolvendo a desigualdade:
-25 < x - 1 < 25
Adicionando 1 em todos os lados:
-24 < x < 26

Passo 6

Agora, vamos verificar os extremos do intervalo.
  • Quando x = -24:
    A série vira sumn=1^infty (-25)^nn cdot 25^n = sumn=1^infty (-1)^nn, que é a série harmônica alternada e converge.
  • Quando x = 26:
    A série vira sumn=1^infty 25^nn cdot 25^n = sumn=1^infty 1n, que é a série harmônica e não converge.

Resposta

A resposta correta é a alternativa b) [-24,26).

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