O intervalo de convergência da série é:
a)
b)
c)
d)
e)
f) NDR
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o intervalo de convergência da série . Vamos usar o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar onde essa série converge.
Passo 2
Primeiro, aplicamos o Teste da Raiz. A ideia é calcular o limite da raiz n-ésima do termo geral da série:
Passo 3
Simplificando a expressão dentro da raiz:
L = limn to infty |x-1|5^2 cdot raiz[n]1n
Sabemos que limn to infty raiz[n]1n = 1, então:
L = |x-1|25
Passo 4
Para a série convergir, precisamos que L < 1:
|x-1|25 < 1
Isso implica:
|x-1| < 25
Passo 5
Resolvendo a desigualdade:
-25 < x - 1 < 25
Adicionando 1 em todos os lados:
-24 < x < 26
Passo 6
Agora, vamos verificar os extremos do intervalo.
Quando x = -24:
A série vira sumn=1^infty (-25)^nn cdot 25^n = sumn=1^infty (-1)^nn, que é a série harmônica alternada e converge.
Quando x = 26:
A série vira sumn=1^infty 25^nn cdot 25^n = sumn=1^infty 1n, que é a série harmônica e não converge.