Identifique se as funções abaixo são contínuas no ponto zo. Justifique suas respostas
d) z o=i ; f(z)=\left\{\begin{array}{r}\frac{z^{3}-1}{z-1},|z| \neq 1 \\\\ 3,|z|=1\end{array}\right.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(z)= \begin{cases} \dfrac{z^{3}-1}{z-1},&|z|\neq1,\\\\ 3,&|z|=1, \end{cases}
e queremos saber se ela é contínua em z_{0}=i. Como |i|=1, vale
f(i)=3.
Para ser contínua em z_{0}, precisamos que
\lim_{z\to i}f(z)=f(i)=3.

Passo 2

Para z\to i com |z|\neq1 usamos a expressão
\frac{z^{3}-1}{z-1}.
Fatorando z^{3}-1=(z-1)(z^{2}+z+1) vemos que, para z\neq1,
\frac{z^{3}-1}{z-1}=z^{2}+z+1.
Logo
\lim_{z\to i}f(z) =\lim_{z\to i}(z^{2}+z+1) =i^{2}+i+1 =-1+i+1 =i.

Passo 3

Comparando \lim_{z\to i}f(z)=i com f(i)=3, vemos que
i\neq3,
ou seja, o limite não coincide com o valor da função em z_{0}. Portanto a função não é contínua em z_{0}=i.

Resposta

A função não é contínua em z_{0}=i, pois
\lim_{z\to i}f(z)=i\neq f(i)=3.

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