Identifique se as funções abaixo são contínuas no ponto zo. Justifique suas respostas
b) \quad z o=0 ; f(z)=\left\{\begin{array}{l}\frac{z}{|z|},|z| \neq 0 \\\\ 1,|z|=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função f\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C}\) por \[f(z)= \begin{cases} \dfrac{z}{|z|},&|z|\neq 0,\\\\ 1,&|z|=0, \end{cases}
e pede para verificar se f\] é contínua no ponto \(z_0=0. Vamos usar a definição de continuidade em \mathbb{C} (ou \mathbb{R}^2).

Passo 2

Uma função f é contínua em z_0 se, e somente se,
\lim_{z\to z_0}f(z)
existe e é igual a f(z_0). Neste caso queremos ver se
\lim_{z\to 0}\frac{z}{|z|}
existe e coincide com f(0)=1.

Passo 3

Observamos primeiro o valor no ponto:
f(0)=1.

Passo 4

Agora analisamos o limite pelos caminhos distintos:
  1. Se aproximarmos por pontos reais positivos, z=x com x\to0^+, então
f(x)=\frac{x}{|x|}=\frac{x}{x}=1.
Logo o limite por esse caminho é 1.
  1. Se aproximarmos por pontos do eixo imaginário, z=iy com y\to0^+, então
f(iy)=\frac{iy}{|iy|}=\frac{iy}{y}=i.
Aqui o limite é i, diferente de 1.

Passo 5

Como o valor do limite depende do caminho de aproximação (dá 1 por um e i por outro), o limite
\lim_{z\to 0}f(z)
não existe. Portanto não pode ser igual a f(0)=1.

Resposta

A função não é contínua em z_0=0.

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