Calcule o valor de f(z) no ponto z o=2-i. Identifique, se existir, pontos no domínio cujo valor de f(z) é real puro. Para esses pontos calcule o valor da função.
a) f(z)=|z|^{2}-2 \operatorname{Re}(i z)+i \cdot \operatorname{Im}\left(-z^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função de variável complexa
f(z)=|z|^{2}-2\operatorname{Re}(i z)+i\,\operatorname{Im}(-z^{2})
e pede (1) o valor de f(z) em z_{0}=2 - i e (2) identificar pontos no domínio em que f(z) seja puramente real e, para eles, calcular f(z). Vamos usar a escrita z=x+iy e separar parte real e imaginária.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}:
|z|^{2}=x^{2}+y^{2}.
i z=i(x+iy)=ix - y, logo \operatorname{Re}(iz)=-y e
-2\operatorname{Re}(iz)=-2(-y)=2y.
z^{2}=(x+iy)^{2}=x^{2}+2ixy-y^{2}, então
-z^{2}=-x^{2}-2ixy+y^{2},
cuja parte imaginária é \operatorname{Im}(-z^{2})=-2xy e
i\,\operatorname{Im}(-z^{2})=i(-2xy)=-2i\,x y.
Somando tudo,
f(z)=x^{2}+y^{2}+2y-2i\,x y.

Passo 3

Para z_{0}=2 - i temos x=2 e y=-1. Então
\text{Parte real: }x^{2}+y^{2}+2y=4+1-2=3,
\text{Parte imaginária: }-2\,x y=-2\cdot2\cdot(-1)=4,á
portanto
f(2 - i)=3+4i.

Passo 4

Queremos f(z) puramente real, isto é, parte imaginária zero. Da expressão
f(z)=\bigl(x^{2}+y^{2}+2y\bigr)-2i\,x y
vemos que \operatorname{Im}f(z)=-2xy. Impor -2xy=0
x\,y=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\text{ ou }y=0.

Passo 5

Se y=0 (e x livre), então z=x\in\mathbb{R} e
f(x)=x^{2}+0+0=x^{2}.
Se x=0 (e y livre), então z=iy e
f(iy)=0+y^{2}+2y=y^{2}+2y.
Em ambos os casos a parte imaginária zera e f(z) é real.

Resposta

f(2 - i)=3+4i.
Os pontos em que f(z) é puramente real são aqueles com x=0 ou y=0.
Para z=x\in\mathbb{R}, f(z)=x^{2}.
Para z=iy ( y\in\mathbb{R}), f(z)=y^{2}+2y.

Exercícios relacionados