Obtenha a regra de derivação das funções abaixo e calcule o valor da derivada em z=i
a) f(z)=\frac{i z^{2}-2 z}{3 z+1-i}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(z) = \frac{i z^{2} - 2z}{3z + 1 - i}
no ponto z=i. O conteúdo é a regra do quociente para funções complexas, que diz que, para
u(z)=i z^{2}-2z \quad\text{e}\quad v(z)=3z+1-i,
temos
f'(z)=\frac{u'(z)\,v(z)-u(z)\,v'(z)}{\bigl(v(z)\bigr)^{2}}.

Passo 2

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(z)=\frac{d}{dz}\bigl(i z^{2}-2z\bigr)=2i\,z-2,
v'(z)=\frac{d}{dz}\bigl(3z+1-i\bigr)=3.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
f'(z) =\frac{(2i\,z-2)(3z+1-i)-(i z^{2}-2z)\cdot3}{(3z+1-i)^{2}}.
Expandindo o numerador:
(2i z-2)(3z+1-i) =6i z^{2}+(2i z+2z-6z)+(-2+2i) =6i z^{2}+(2i-4)z+(-2+2i),
3\,(i z^{2}-2z)=3i z^{2}-6z.
Logo o numerador fica
6i z^{2}-3i z^{2}+(2i-4)z+6z+(-2+2i) =3i z^{2}+(2i+2)z+2i-2.
Portanto
f'(z) =\frac{3i z^{2}+(2i+2)z+2i-2}{(3z+1-i)^{2}}.

Passo 4

Agora avaliamos em z=i. Temos z^{2}=-1 e
\text{numerador} =3i(-1)+(2i+2)i+2i-2 =-3i+(-2+2i)+2i-2 =-4+i,
\text{denominador} =(3i+1-i)^{2}=(1+2i)^{2} =-3+4i.
Assim
f'(i) =\frac{-4+i}{-3+4i} =\frac{16+13i}{25} =\frac{16}{25}+\frac{13}{25}i.

Resposta

f'(z)=\frac{3i z^{2}+(2i+2)z+2i-2}{(3z+1-i)^{2}},
f'(i)=\frac{16}{25}+\frac{13}{25}i.

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