Obtenha os desenvolvimentos indicados abaixo.
43 x em potências de (x-2)

Passo 1

O enunciado pede desenvolver 43x em potências de (x-2). O conteúdo envolve séries de potências (expansão em torno de x0=2) e o uso da série geométrica para 1/(1+u).

Passo 2

Definindo h = x - 2, temos x = 2 + h. Reescrevendo a função obtemos:
43x = 43(2+h) = 46,(1 + tfrach2) = 23cdot11 + tfrach2

Passo 3

Para |u|<1 vale a série geométrica
11+u = sumn=0^infty (-1)^n u^n
Aqui tomamos u = tfrach2 = tfracx-22, logo
11 + tfrach2 = sumn=0^infty (-1)^nl(tfracx-22r)^n

Passo 4

Multiplicando pelo fator tfrac23, obtemos a expansão em potências de (x-2):
43x = 23sumn=0^infty (-1)^nl(tfracx-22r)^n = sumn=0^infty (-1)^n23cdot 2^n(x-2)^n

Resposta

43x = sumn=0^infty (-1)^n23,2^n(x-2)^n, |x-2|<2

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