Identifique as funções f1(x) e f2(x) tais que f(x)=f2(f1(x)) e encontre a derivada de f.
© f(x)=e^raizx

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f(x) = e^raizx. O conteúdo é derivada de função composta, que utiliza a regra da cadeia. Para resolver, precisamos decompor f em duas funções f1 e f2 e depois aplicar a derivada.

Passo 2

Identificamos a parte interna e a parte externa da função. A parte interna é a raiz de x, então f1(x) = raizx. A parte externa é a exponencial, então f2(u) = e^u. Assim, f(x) = f2(f1(x)).

Passo 3

Derivando f1(x): temos f1(x) = x^1/2. Usando a regra de potência,
f1'(x) = 12 x^-1/2 = 12raizx

Passo 4

Derivando f2(u): como f2(u) = e^u, a derivada da exponencial é ela mesma, isto é f2'(u) = e^u.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia: a derivada de f(x) = f2(f1(x)) é
f'(x) = f2'(f1(x)) cdot f1'(x)
Substituindo os resultados, fica:
f'(x) = e^raizx cdot 12raizx = e^raizx2raizx

Resposta

As funções são f1(x) = raizx e f2(u) = e^u. A derivada é f'(x) = e^raizx2raizx.

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