f) Determine a temperatura máxima num disco de raio igual a 2 centrado na origem, sabendo que a temperatura T em qualquer ponto (x, y) do plano é dada por T(x, y)=-y^2-x^2-2 x+2 y+8.

Passo 1

O enunciado pede para achar a temperatura máxima da função de duas variáveis T(x,y) = -y^2 - x^2 - 2x + 2y + 8 dentro do disco de raio 2 centrado na origem. O conteúdo envolve otimização de funções de várias variáveis e usaremos derivadas parciais para encontrar pontos críticos e verificar se eles estão dentro do domínio.

Passo 2

Para achar pontos críticos, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial Tpartial x = -2x - 2 = 0, partial Tpartial y = -2y + 2 = 0
Resolvendo, obtemos x = -1 e y = 1.

Passo 3

Precisamos checar se o ponto crítico (-1,1) está dentro do disco x^2 + y^2 <= 4.
Calculando (-1)^2 + 1^2 = 2 <= 4, logo está dentro.
Além disso, a Hessiana de T é
H = -2 & 00 & -2,
que é negativa definida, mostrando que T é estritamente côncava e o ponto crítico é um máximo global.

Passo 4

Bastam então avaliar T em (-1,1):
T(-1,1) = -1^2 -(-1)^2 -2(-1) + 2(1) + 8 = -1 -1 +2 +2 +8 = 10
Como não há outro ponto maior no disco, esta é a temperatura máxima.

Resposta

A temperatura máxima no disco é 10.

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