f) Determine a temperatura máxima num disco de raio igual a 2 centrado na origem, sabendo que a temperatura
em qualquer ponto
do plano é dada por
.
Passo 1
O enunciado pede para achar a temperatura máxima da função de duas variáveis
dentro do disco de raio 2 centrado na origem. O conteúdo envolve otimização de funções de várias variáveis e usaremos derivadas parciais para encontrar pontos críticos e verificar se eles estão dentro do domínio.
Passo 2
Para achar pontos críticos, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Resolvendo, obtemos
Passo 3
Precisamos checar se o ponto crítico
está dentro do disco
.
Calculando , logo está dentro.
Além disso, a Hessiana de é
Calculando
Além disso, a Hessiana de
que é negativa definida, mostrando que
Passo 4
Bastam então avaliar
em
:
Como não há outro ponto maior no disco, esta é a temperatura máxima.
Resposta
A temperatura máxima no disco é 10.