(UEPG-Adaptada) Considerando que A=cos (x) e B=tg(x), sendo sen(x)=-15 e x pertencente ao 3^circ quadrante, assinale o que for incorreto.
A^2+B^2>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre funções trigonométricas. A questão nos dá que A = cos(x) e B = tan(x), sabendo que sin(x) = -15 e o ângulo x está no 3º quadrante. A gente precisa verificar se a expressão A^2 + B^2 > 0 é correta ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no 3º quadrante as funções trigonométricas têm sinais específicos:
  • O seno é negativo.
  • O cosseno também é negativo.
  • A tangente, que é seno dividido pelo cosseno, é positiva, pois o negativo dividido pelo negativo dá positivo.

Passo 3

Sabemos que sin(x) = -15. Vamos usar isso para encontrar o cosseno e a tangente.
Lembrando da identidade trigonométrica:
sin^2(x) + cos^2(x) = 1
Substituindo sin(x):
(-15)^2 + cos^2(x) = 1 125 + cos^2(x) = 1 cos^2(x) = 1 - 125 cos^2(x) = 2425 cos(x) = - raiz24 5 = -2raiz65
Escolhemos o negativo porque estamos no 3º quadrante.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a tangente:
tan(x) = sin(x)cos(x) = -15 -2raiz65 = 12raiz6 = raiz612

Passo 5

Com A = cos(x) = -2raiz65 e B = tan(x) = raiz612, vamos calcular A^2 + B^2:
A^2 = (-2raiz65)^2 = 4 times 625 = 2425 B^2 = (raiz612)^2 = 6144 = 124 A^2 + B^2 = 2425 + 124

Passo 6

Vamos somar as frações:
2425 + 124 = 24 times 24 + 1 times 2525 times 24 = 576 + 25600 = 601600

Passo 7

Observamos que 601600 é maior que 1, ou seja, A^2 + B^2 = 601600 > 0.

Resposta

A afirmação A^2 + B^2 > 0 está correta.

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