Usando a(s) regra(s) apropriada(s) calcule as derivadas das funções abaixo:
(e) f(x)=x+1(x^2+1)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x) = dfracx+1(x^2+1)^2. O conteúdo envolvido é a regra do quociente e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Definimos as funções auxiliares para aplicar a regra do quociente: u(x)=x+1 e v(x)=(x^2+1)^2. Logo, temos: u'(x)=1.
Para calcular v'(x) usamos a regra da cadeia. Seja h(t)=t^2 e t(x)=x^2+1. Então h'(t)=2t e t'(x)=2x, de modo que:
v'(x)=h'(t(x))cdot t'(x)=2,(x^2+1)cdot2x=4x,(x^2+1)

Passo 3

Agora aplicamos a regra do quociente:
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2=1cdot(x^2+1)^2-(x+1)cdot4x(x^2+1)( (x^2+1)^2 )^2

Passo 4

Vamos simplificar o numerador fatorando (x^2+1):
(x^2+1)^2-4x(x+1)(x^2+1)=(x^2+1)l[(x^2+1)-4x(x+1)r]

Passo 5

Calculando o que está entre colchetes:
(x^2+1)-4x(x+1)=x^2+1-4x^2-4x=-3x^2-4x+1

Passo 6

Substituindo e cancelando uma potência de (x^2+1) entre numerador e denominador, obtemos:
f'(x)=(x^2+1)(-3x^2-4x+1)(x^2+1)^4 = -3x^2-4x+1(x^2+1)^3

Resposta

f'(x)=-3x^2-4x+1(x^2+1)^3

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