Identifique os índices livres e os de soma nas equações abaixo e determine quantas equações distintas cada expresssão representa.
A^{\alpha} B_{\alpha}=2

Passo 1

O enunciado dá a expressão
A^{\alpha} B_{\alpha} = 2
As perguntas são: identificar quais índices são livres e quais são índices de soma (índices dummy) e determinar quantas equações distintas essa expressão representa. Vou assumir a convenção usual de soma de Einstein (índices repetidos, um em cima e outro embaixo, são somados).

Passo 2

O que é um índice de soma (dummy) e um índice livre, de forma prática:
  • Índice de soma (dummy): é um índice que aparece duas vezes na mesma expressão (uma vez contravariantes, outra covariante) e indica uma soma sobre todos os valores possíveis desse índice. Por exemplo, escrever
x^{i} y_{i}
significa, explicitamente,
\sum_{i=1}^{n} x^{i} y_{i}.
Esse índice não aparece no resultado final como um rótulo: é apenas um marcador temporário de somatório.
  • Índice livre: é um índice que aparece apenas uma vez em um termo (não repetido). Quando existe um índice livre numa equação tensórica, a equação vale para cada valor desse índice separadamente; portanto a equação representa tantas equações escalares quantos forem os valores possíveis do índice livre (por exemplo n se o índice corre de 1 a n).
Exemplo para fixar: em
C^{\mu} = T^{\mu\nu} v_{\nu},
o índice \nu é de soma (aparece duas vezes, somatório sobre \nu), enquanto \mu é índice livre — a equação dá n componentes diferentes C^{1},C^{2},\dots,C^{n}.

Passo 3

Aplicando isso à expressão dada \;A^{\alpha} B_{\alpha}=2\;:
  • O índice \alpha aparece duas vezes, uma vez como superíndice ( \alpha) e outra como subíndice ( \alpha). Pela convenção de Einstein isso indica soma sobre \alpha. Logo \alpha é um índice de soma (dummy).
  • Não sobra nenhum índice que apareça só uma vez: portanto não há índices livres nessa equação.

Passo 4

Escrevendo a soma explicitamente para clareza (assumindo que o índice toma valores 1,\dots,n):
\sum_{\alpha=1}^{n} A^{\alpha} B_{\alpha} = 2.
Observe que, por mais que o somatório contenha n termos, o resultado é um único número (um escalar). Portanto a equação é uma única equação escalar, não n equações.

Resposta

Índice(s) de soma: \alpha.
Índice(s) livres: nenhum.
Número de equações distintas representadas: 1.

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