Identifique os índices livres e os de soma nas equações abaixo e determine quantas equações distintas cada expresssão representa.
Passo 1
O enunciado dá a expressão
As perguntas são: identificar quais índices são livres e quais são índices de soma (índices dummy) e determinar quantas equações distintas essa expressão representa. Vou assumir a convenção usual de soma de Einstein (índices repetidos, um em cima e outro embaixo, são somados).
Passo 2
O que é um índice de soma (dummy) e um índice livre, de forma prática:
- Índice de soma (dummy): é um índice que aparece duas vezes na mesma expressão (uma vez contravariantes, outra covariante) e indica uma soma sobre todos os valores possíveis desse índice. Por exemplo, escrever
significa, explicitamente,
Esse índice não aparece no resultado final como um rótulo: é apenas um marcador temporário de somatório.
- Índice livre: é um índice que aparece apenas uma vez em um termo (não repetido). Quando existe um índice livre numa equação tensórica, a equação vale para cada valor desse índice separadamente; portanto a equação representa tantas equações escalares quantos forem os valores possíveis do índice livre (por exemplo
se o índice corre de a ).
Exemplo para fixar: em
o índice
é de soma (aparece duas vezes, somatório sobre
), enquanto
é índice livre — a equação dá
componentes diferentes
.
Passo 3
Aplicando isso à expressão dada
:
- O índice
aparece duas vezes, uma vez como superíndice ( ) e outra como subíndice ( ). Pela convenção de Einstein isso indica soma sobre . Logo é um índice de soma (dummy). - Não sobra nenhum índice que apareça só uma vez: portanto não há índices livres nessa equação.
Passo 4
Escrevendo a soma explicitamente para clareza (assumindo que o índice toma valores
):
Observe que, por mais que o somatório contenha
termos, o resultado é um único número (um escalar). Portanto a equação é uma única equação escalar, não
equações.
Resposta
Índice(s) de soma:
.
Índice(s) livres: nenhum.
Número de equações distintas representadas: .
Índice(s) livres: nenhum.
Número de equações distintas representadas: