Identifique quais das integrais é imprópria. Justifique sua resposta.
a)
\int_{0}^{3} \frac{d x}{x-1}
b)
\int_{2}^{3} \frac{x}{x-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais integrais são impróprias, ou seja, aquelas em que o integrando não é contínuo (ou é ilimitado) em algum ponto do intervalo de integração. Vamos usar o critério de continuidade do integrando no intervalo dado.

Passo 2

Analisando
\int_{0}^{3}\frac{dx}{x-1}: o denominador x-1 anula-se em x=1, e 1 pertence ao intervalo [0,3]. Nessa abscissa a função fica ilimitada (descontinuidade infinita). Logo, essa integral deve ser tratada como limite em torno de x=1 e é impropria.

Passo 3

Analisando
\int_{2}^{3}\frac{x}{x-1}\,dx: o denominador x-1 só se anula em x=1, mas 1\notin[2,3]. Assim o integrando é contínuo em todo [2,3], não há singularidade e a integral é própria.

Resposta

(a) imprópria
(b) própria

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