Calcule as seguintes integrais.
a) \int_{-\infty}^{0} x e^{x} d x.
b) \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x.
c) \int_{0}^{5} \frac{w}{w-2} d w.
Passo 1
O enunciado pede para calcular três integrais impróprias, envolvendo técnica de integração por partes, uso de primitiva de \frac1{1+x^2} e análise de convergência quando há singularidade no intervalo de integração.
Passo 2
Para
\int_{-\infty}^{0} x e^{x}\,dx
fazemos integração por partes: defina u = x e dv = e^{x}dx. Então du = dx e v = e^{x}. Assim,
\int x e^{x}dx = x e^{x} - \int e^{x}dx = x e^{x} - e^{x} + C.