Calcule as seguintes integrais.
a)
\int_{-\infty}^{0} x e^{x} d x.
b)
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x.
c)
\int_{0}^{5} \frac{w}{w-2} d w.

Passo 1

O enunciado pede para calcular três integrais impróprias, envolvendo técnica de integração por partes, uso de primitiva de \frac1{1+x^2} e análise de convergência quando há singularidade no intervalo de integração.

Passo 2

Para
\int_{-\infty}^{0} x e^{x}\,dx
fazemos integração por partes: defina u = x e dv = e^{x}dx. Então du = dx e v = e^{x}. Assim,
\int x e^{x}dx = x e^{x} - \int e^{x}dx = x e^{x} - e^{x} + C.
Aplicando os limites:
\int_{-\infty}^{0} x e^{x}dx = \lim_{A\to -\infty}\bigl[x e^{x} - e^{x}\bigr]_{x=A}^{x=0} = \bigl(0\cdot1 - 1\bigr) - \lim_{A\to -\infty}e^{A}(A-1).
Como e^{A}(A-1)\to0 quando A\to -\infty, a integral vale -1.

Passo 3

Para
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}}\,dx
sabemos que uma primitiva é \arctan(x). Logo,
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \lim_{B\to+\infty}\arctan(B)\;-\;\lim_{A\to-\infty}\arctan(A) = \frac{\pi}{2} - \bigl(-\frac{\pi}{2}\bigr) = \pi.

Passo 4

Para
\int_{0}^{5} \frac{w}{w-2}\,dw
note que há singularidade em w=2. Escrevemos
\frac{w}{w-2} = 1 + \frac{2}{w-2},
cuja primitiva é
w + 2\ln\bigl|w-2\bigr|.
Dividimos em dois integras de forma imprópria:
\int_{0}^{5}\frac{w}{w-2}dw = \lim_{b\to2^-}\bigl[w+2\ln|w-2|\bigr]_{0}^{b} + \lim_{a\to2^+}\bigl[w+2\ln|w-2|\bigr]_{a}^{5}.
Em ambos os limites \ln|w-2|\to -\infty ou \ln|w-2|\to -\infty aparecem, gerando divergência para cada parcela. Portanto, a integral não converge.

Resposta

(a) -1
(b) \pi
(c) diverge (não converge)

Exercícios relacionados