Uma corrente de 50 A passa através de um fio com 6 mm de diâmetro em uma linha de transmissão elétrica. A resistividade do fio é igual a 0,002 \Omega / \mathrm{m}. Ventos a 40 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e 10^{\circ} \mathrm{C} sopram através da linha de transmissão. Desprezando perdas de calor por radiação, determine a temperatura da superfície do fio.

Passo 1

O enunciado diz que uma corrente de 50\,\mathrm{A} circula num fio de diâmetro 6\,\mathrm{mm} cuja resistividade é 0{,}002\,\Omega/\mathrm{m}. Há vento de 40\,\mathrm{km/h} em ar a 10^\circ\mathrm{C}. Desprezando perdas por radiação, queremos a temperatura de superfície T_s. Vamos usar balanço de potência (efeito Joule) e convecção forçada em cilindro.

Passo 2

A potência por unidade de comprimento gerada por efeito Joule é
\dot q' = I^2\,R' = (50)^2 \times 0{,}002 = 5\\ \mathrm{W/m}.

Passo 3

Calculamos o número de Reynolds e o coeficiente convectivo. Convertemos a velocidade:
U = 40\,\mathrm{km/h} = \frac{40\,000}{3600}\approx11{,}11\,\mathrm{m/s}.
Para ar a 10^\circ\mathrm{C} usamos
\nu = 1{,}3\times10^{-5}\,\mathrm{m^2/s},
\mathrm{Pr}=0{,}71,
k=0{,}024\,\mathrm{W/(m\cdot K)}.
\mathrm{Re}_D = \frac{U\,D}{\nu} = \frac{11{,}11\times0{,}006}{1{,}3\times10^{-5}} \approx5123.
A correlação de Ranz–Marshall dá
\mathrm{Nu}_D = 0{,}3 + 0{,}62\,\mathrm{Re}_D^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3} \approx0{,}3 + 0{,}62\times\sqrt{5123}\times0{,}71^{1/3} \approx39{,}96,
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h = \frac{\mathrm{Nu}_D\,k}{D} = \frac{39{,}96\times0{,}024}{0{,}006} \approx160\,\mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 4

No equilíbrio térmico, a potência gerada é dissipada por convecção:
\dot q' = h\,\pi D\,(T_s - T_\infty).
Isolando T_s:
T_s = T_\infty + \frac{\dot q'}{h\,\pi D} =10 + \frac{5}{160\;\pi\;\times0{,}006} \approx11{,}7\;^\circ\mathrm{C}.

Resposta

A temperatura da superfície do fio é aproximadamente 11{,}7^\circ\mathrm{C}.

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