Identifique os intervalos onde a função f(x) = x^4 - 4x^3 + 5x^2 é crescente ou decrescente.

Passo 1

Resumindo, queremos determinar onde a função f(x) = x^4 - 4x^3 + 5x^2 é crescente ou decrescente. O conteúdo principal é teste de monotonicidade usando derivadas.

Passo 2

A primeira coisa é calcular a derivada. Usando a regra do poder, temos
f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 10x

Passo 3

Agora vamos fatorar para facilitar o estudo de sinal. Podemos extrair 2x:
f'(x) = 2x(2x^2 - 6x + 5)
Calculamos o discriminante da parte quadrática: De. Como o coeficiente principal é positivo, 2x^2 - 6x + 5 é sempre positivo.

Passo 4

Com isso, o sinal de f'(x) é dado pelo sinal de 2x, ou seja, só depende de x: para x < 0 temos f'(x) < 0 e para x > 0 temos f'(x) > 0. Assim, f é decrescente em (0, +infty) e crescente em .

Resposta

f é decrescente em (-∞, 0) e crescente em (0, +∞).

Exercícios relacionados