Verifique a continuidade da função f(x) = x^2 + 1, & x < 0 3, & x = 0 x+1, & x > 0 .

Passo 1

No enunciado, temos a função definida por partes
f(x)= x^2+1,&x<0 3,&x=0 x+1,&x>0
O conteúdo é continuidade de funções definidas por partes. Para verificar continuidade num ponto a, usamos que f é contínua em a se
  1. limxto a^-f(x) existe,
  2. limxto a^+f(x) existe,
  3. esses limites são iguais e valem f(a).

Passo 2

Para x<0 e x>0 cada ramo é um polinômio ( x^2+1 e x+1), e polinômios são contínuos em todo ponto do domínio. Logo, f é contínua em todos os xneq0.

Passo 3

Agora vamos a x=0. Primeiro o limite pela esquerda:
limxto0^-f(x)=limxto0^-(x^2+1)=0^2+1=1

Passo 4

Limite pela direita em 0:
limxto0^+f(x)=limxto0^+(x+1)=0+1=1

Passo 5

Comparando com o valor da função em 0: f(0)=3. Como
limxto0^-f(x)=limxto0^+f(x)=1neq f(0)=3,
a função não satisfaz a condição de continuidade em x=0.

Resposta

A função é contínua em (0,nabla) e x=0 e apresenta descontinuidade no ponto .

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