- Identifique (e justifique) quais das integrais de Fourier abaixo são próprias e calcule-as:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que temos. Temos quatro integrais sobre a reta real, com parâmetro real
. Para cada integral devo:
- identificar se ela é própria (isto é, se converge como integral imprópria usual) ou se é imprópria devido a singularidades na reta real;
- justificar essa classificação;
- calcular a integral (quando for convergente) — quando houver polos sobre a reta real farei a integral no sentido da valor principal de Cauchy (PV).
As integrais são:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
(parâmetro real). - As integrais são sobre todo o eixo real.
- Os denominadores têm zeros (polos) em:
-
em (polos reais para ); -
em (polos fora da reta real para e ); -
em (real) e em (complexos conjugados) (polo real para ).
-
- Assim, à primeira vista:
e têm polos sobre a reta real (logo são impróprias no sentido de ter singularidades na integração); e não têm polos sobre a reta real (a convergência precisa ser analisada pelo comportamento no infinito).
A resolução e justificativas começam no Passo 2.
Passo 2
Método e ferramentas que vou usar (explicação didática, passo a passo):
- Vou usar integração por contorno no plano complexo, fechando o contorno na meia-bola superior para
e na meia-bola inferior para . A razão: para , portanto para a exponencial decai na região com (meia-plano superior) e para decai na região com (meia-plano inferior). Isso é a base do Lema de Jordan, que garante que as contribuições das meias-bolas ao infinito vão para zero quando o integrando decai adequadamente. - Teorema dos resíduos: para uma função meromorfa
e um contorno fechado que envolve polos , onde é o resíduo em . - Quando há um polo simples exatamente sobre a reta real, a integral real é tratada no sentido do valor principal de Cauchy (PV). Com a escolha usual de desviar o contorno por pequenos semicírculos que passam por cima (para fechar no superior) ou por baixo (para fechar no inferior), o efeito é que um polo simples sobre a reta real contribui com metade do resíduo quando o desvio está do mesmo lado que o fechamento. Assim, para
(fechamento superior) a contribuição de um polo em é dentro da soma; para (fechamento inferior) também aparece metade do resíduo, porém com sinal global apropriado vindo da orientação do contorno (ver cálculo caso a caso). - Identidade útil (que usarei e explicarei): para
, onde se , se , e a fórmula é entendida como limite para . Essa fórmula pode ser obtida fechando o contorno no semiplano adequado e observando que o polo simples em contribui com metade do resíduo e o fator dá , o sinal vem do lado onde se fecha o contorno. - Para polos simples de um denominador polinomial
(com ), se consideramos , então Vou usar isso para polinômios ou . - Observação prática: integrais do tipo
não convergem no sentido improprio usual (fora do sentido de distribuição) para . Em vários momentos vou separar o caso (onde as técnicas de contorno funcionam) e (analisar diretamente se a integral converge ou diverge).
Agora aplico essas ideias a cada integral.
Passo 3
-
Observação sobre singularidades:
tem polos simples em , ambos na reta real. Portanto a integral é imprópria por essas singularidades. Vou calcular o valor principal de Cauchy (PV). -
Uso de frações parciais: escrevo
Logo
- Aplicação da identidade do Passo 2 (para
):
Usando isso para
e
obtemos
- Substituindo nas frações parciais:
- Simplificando com
:
- Conclusões sobre convergência:
- A integral não é própria no sentido usual porque existem polos em
sobre a reta real. O valor que calculei é o valor principal de Cauchy (PV). Portanto deve ser interpretada como PV e vale
Passo 4
-
Singularidades:
tem raízes , ambas fora da reta real. Não há polos sobre a reta real; portanto não há necessidade de tomar PV por singularidades reais. -
Convergência para
: para grandes o integrando se comporta como . A integral converge condicionalmente (não absolutamente) por oscilação quando ; isso é tratado pelo fechamento do contorno e pelo Lema de Jordan. Vamos calcular para e separadamente. O caso é tratado depois. -
Para
: fecho o contorno no semiplano superior. O único polo dentro é . Usando a fórmula do resíduo:
Pela fórmula dos resíduos (contorno positivo),
- Para
: fecho no semiplano inferior; o pólo dentro é . A orientação do contorno é no sentido horário, o que introduz um sinal negativo:
Portanto
- Podemos escrever de forma compacta usando
e :
- Caso
: . A primitiva é , e os limites separados para e divergem; porém a integral simétrica (valor principal) é zero porque a função é ímpar. Assim, como integral imprópria no sentido separado não converge, mas como integral simétrica (PV) vale . Para o uso nas transformadas de Fourier é comum usar o resultado acima para ; para o valor próprio simétrico é .
Passo 5
- Observação algébrica útil:
Logo
-
A primeira integral
não converge no sentido usual; como valor principal (integrando simetricamente) ela vale quando . (Isto é um resultado padrão: para .) Portanto, para , apenas o segundo termo contribui. -
Já calculamos a integral clássica (sem fator
) no Passo 4 parcialmente. Vamos calcular diretamente:
Pelo método dos resíduos, com polo em
para
e em
para
, obtemos (ver cálculo análogo ao do Passo 4)
(Para
dá
.)
- Assim, para
,
- Sobre
: a integranda em é que tende para quando , portanto a integral diverge para . Logo é divergente para , e para o valor é .
Passo 6
- Singularidades:
tem raízes
Portanto há um polo real simples em
e dois polos complexos conjugados (um no semiplano superior
e outro no inferior
). A integral sobre a reta real é, portanto, imprópria e deve ser entendida como valor principal.
- Estratégia: usar o Teorema dos Resíduos com a regra da metade para o polo em
: para (fechamento superior) a PV será
onde
. Para
fechamos no semiplano inferior e obtemos
(A orientação invertida para o fechamento inferior produz o sinal negativo global.)
- Cálculo dos resíduos por
quando : se então . Assim, para uma raiz simples,
Logo:
- Para
:
Usando
e
, podemos também escrever explicitamente
Assim uma forma explícita conveniente para
é
- Para
: fechando no inferior obtemos
Com
e
, e escrevendo
(observe que para
o fator exponencial real tem
), podemos dar a forma
- Observações finais sobre
:
- A integral não é própria (há um polo real em
); o que foi calculado é o valor principal de Cauchy. - As fórmulas acima dão o PV em termos de exponenciais complexas; podem ser deixadas assim ou convertidas em partes real e imaginária se desejado.
Resposta
[\displaystyle \operatorname{PV}\int_{-\infty}{\infty}\frac{e{i k x}}{x^{2}-1},dx = -\pi,\operatorname{sgn}(k),\sin k)
(\displaystyle \operatorname{PV}\int_{-\infty}{\infty}\frac{e{ikx}}{x^{3}+1},dx=
]]