- As partes real e imaginária de
, são medidas apenas para frequências positivas.
é PAR e
é ÍMPAR, posto que formam a TF de uma função REAL. Usando essas paridades, reescreva as relações de KK como integrais de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma transformação das relações de Kramers–Kronig (KK):
- Informação dada:
- Para
, a transformada tem parte real e parte imaginária . - Apenas as frequências positivas são medidas, e as paridades são:
-
(par). -
(ímpar).
-
- Para
- O que o enunciado pede:
- Reescrever as relações de Kramers–Kronig, originalmente integradas sobre
, como integrais apenas em , usando as paridades dadas.
- Reescrever as relações de Kramers–Kronig, originalmente integradas sobre
Passo 2
Lembrando as formas usuais (com valor principal) das relações de KK para respostas causais (escritas para
real):
Explicando (didaticamente):
- A expressão
significa “valor principal de Cauchy”: quando o integrando tem singularidade em , a integral é tomada como o limite simétrico em torno da singularidade, para que faça sentido. - Essas fórmulas relacionam a parte real e a parte imaginária em toda a reta das frequências.
Passo 3
Transformação da primeira relação (
) para integrar só em
.
Começamos separando a integral em duas metades:
Na primeira integral (de
a
) fazemos a mudança de variável
. Então
e quando
vai de
a
,
vai de
a
. Invertendo os limites (colocando de
a
) aparece um sinal menos que anula o
, obtendo:
Agora usamos a paridade ímpar de
:
. Substituindo:
Portanto a integral total (somando as duas metades) vira
Passo 4
Simplificação algébrica da soma de frações dentro da integral.
Somando as frações:
Logo obtemos
Finalmente escrevendo de forma mais compacta:
Passo 5
Transformação da segunda relação (
) para integrar só em
.
Partimos de
Repetimos a separação e a mesma mudança de variável na parte negativa:
Agora usamos a paridade par de
:
. Então
Somando com a parcela positiva,
Passo 6
Simplificação algébrica da diferença de frações dentro da integral.
Calculamos
Substituindo na expressão para
e lembrando do sinal
à frente da integral:
Colocando de forma compacta:
Passo 7
Observações finais rápidas (úteis para a prova):
- As fórmulas válidas para
real são - Para
nota-se diretamente que (por ser ímpar) e onde não há porque a singularidade não aparece na integração de de forma problemática além de que é tratada pela propriedade ímpar de (em muitos contextos físicos a integral converge). - Essas fórmulas mostram explicitamente que, conhecendo
e apenas para , é possível reconstruir uma parte a partir da outra graças às paridades.