1. As partes real e imaginária de \hat{\chi}(\omega)(\omega \in \mathbb{R}), são medidas apenas para frequências positivas. \hat{\chi}_{R}(\omega) é PAR e \hat{\chi}_{I}(\omega) é ÍMPAR, posto que formam a TF de uma função REAL. Usando essas paridades, reescreva as relações de KK como integrais de \omega \in[0: \infty).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma transformação das relações de Kramers–Kronig (KK):
  • Informação dada:
    • Para \omega\in\mathbb{R}, a transformada \hat{\chi}(\omega) tem parte real \hat{\chi}_{R}(\omega) e parte imaginária \hat{\chi}_{I}(\omega).
    • Apenas as frequências positivas são medidas, e as paridades são:
      • \hat{\chi}_{R}(-\omega)=\hat{\chi}_{R}(\omega) (par).
      • \hat{\chi}_{I}(-\omega)=-\hat{\chi}_{I}(\omega) (ímpar).
  • O que o enunciado pede:
    • Reescrever as relações de Kramers–Kronig, originalmente integradas sobre \omega'\in(-\infty,\infty), como integrais apenas em \omega'\in[0,\infty), usando as paridades dadas.

Passo 2

Lembrando as formas usuais (com valor principal) das relações de KK para respostas causais (escritas para \omega real):
\hat{\chi}_{R}(\omega)=\frac{1}{\pi}\,\mathrm{P.V.}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\hat{\chi}_{I}(\omega')}{\omega'-\omega}\,d\omega',
\hat{\chi}_{I}(\omega)=-\frac{1}{\pi}\,\mathrm{P.V.}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\hat{\chi}_{R}(\omega')}{\omega'-\omega}\,d\omega'.
Explicando (didaticamente):
  • A expressão \mathrm{P.V.} significa “valor principal de Cauchy”: quando o integrando tem singularidade em \omega'=\omega, a integral é tomada como o limite simétrico em torno da singularidade, para que faça sentido.
  • Essas fórmulas relacionam a parte real e a parte imaginária em toda a reta das frequências.

Passo 3

Transformação da primeira relação ( \hat{\chi}_{R}) para integrar só em [0,\infty).
Começamos separando a integral em duas metades:
\hat{\chi}_{R}(\omega)=\frac{1}{\pi}\,\mathrm{P.V.}\left(\int_{-\infty}^{0}\frac{\hat{\chi}_{I}(\omega')}{\omega'-\omega}\,d\omega' + \int_{0}^{\infty}\frac{\hat{\chi}_{I}(\omega')}{\omega'-\omega}\,d\omega'\right).
Na primeira integral (de -\infty a 0) fazemos a mudança de variável \omega'=-\xi. Então d\omega'=-d\xi e quando \omega' vai de -\infty a 0, \xi vai de +\infty a 0. Invertendo os limites (colocando de 0 a \infty) aparece um sinal menos que anula o d\omega', obtendo:
\int_{-\infty}^{0}\frac{\hat{\chi}_{I}(\omega')}{\omega'-\omega}\,d\omega' = \int_{0}^{\infty}\frac{\hat{\chi}_{I}(-\xi)}{-\xi-\omega}\,d\xi.
Agora usamos a paridade ímpar de \hat{\chi}_{I}: \hat{\chi}_{I}(-\xi)=-\hat{\chi}_{I}(\xi). Substituindo:
\int_{-\infty}^{0}\frac{\hat{\chi}_{I}(\omega')}{\omega'-\omega}\,d\omega' = \int_{0}^{\infty}\frac{-\hat{\chi}_{I}(\xi)}{-\xi-\omega}\,d\xi = \int_{0}^{\infty}\frac{\hat{\chi}_{I}(\xi)}{\xi+\omega}\,d\xi.
Portanto a integral total (somando as duas metades) vira
\mathrm{P.V.}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\hat{\chi}_{I}(\omega')}{\omega'-\omega}\,d\omega' = \mathrm{P.V.}\int_{0}^{\infty}\left(\frac{\hat{\chi}_{I}(\xi)}{\xi-\omega}+\frac{\hat{\chi}_{I}(\xi)}{\xi+\omega}\right)d\xi.

Passo 4

Simplificação algébrica da soma de frações dentro da integral.
Somando as frações:
\frac{1}{\xi-\omega}+\frac{1}{\xi+\omega} = \frac{(\xi+\omega)+(\xi-\omega)}{(\xi-\omega)(\xi+\omega)} = \frac{2\xi}{\xi^{2}-\omega^{2}}.
Logo obtemos
\hat{\chi}_{R}(\omega)=\frac{1}{\pi}\,\mathrm{P.V.}\int_{0}^{\infty}\hat{\chi}_{I}(\xi)\frac{2\xi}{\xi^{2}-\omega^{2}}\,d\xi.
Finalmente escrevendo de forma mais compacta:
\hat{\chi}_{R}(\omega)=\frac{2}{\pi}\,\mathrm{P.V.}\int_{0}^{\infty}\frac{\xi\,\hat{\chi}_{I}(\xi)}{\xi^{2}-\omega^{2}}\,d\xi.

Passo 5

Transformação da segunda relação ( \hat{\chi}_{I}) para integrar só em [0,\infty).
Partimos de
\hat{\chi}_{I}(\omega)=-\frac{1}{\pi}\,\mathrm{P.V.}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\hat{\chi}_{R}(\omega')}{\omega'-\omega}\,d\omega'.
Repetimos a separação e a mesma mudança de variável na parte negativa:
\int_{-\infty}^{0}\frac{\hat{\chi}_{R}(\omega')}{\omega'-\omega}\,d\omega' = \int_{0}^{\infty}\frac{\hat{\chi}_{R}(-\xi)}{-\xi-\omega}\,d\xi.
Agora usamos a paridade par de \hat{\chi}_{R}: \hat{\chi}_{R}(-\xi)=\hat{\chi}_{R}(\xi). Então
\int_{-\infty}^{0}\frac{\hat{\chi}_{R}(\omega')}{\omega'-\omega}\,d\omega' = \int_{0}^{\infty}\frac{\hat{\chi}_{R}(\xi)}{-\xi-\omega}\,d\xi = -\int_{0}^{\infty}\frac{\hat{\chi}_{R}(\xi)}{\xi+\omega}\,d\xi.
Somando com a parcela positiva,
\mathrm{P.V.}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\hat{\chi}_{R}(\omega')}{\omega'-\omega}\,d\omega' = \mathrm{P.V.}\int_{0}^{\infty}\left(\frac{\hat{\chi}_{R}(\xi)}{\xi-\omega}-\frac{\hat{\chi}_{R}(\xi)}{\xi+\omega}\right)d\xi.

Passo 6

Simplificação algébrica da diferença de frações dentro da integral.
Calculamos
\frac{1}{\xi-\omega}-\frac{1}{\xi+\omega} = \frac{(\xi+\omega)-(\xi-\omega)}{(\xi-\omega)(\xi+\omega)} = \frac{2\omega}{\xi^{2}-\omega^{2}}.
Substituindo na expressão para \hat{\chi}_{I} e lembrando do sinal -1/\pi à frente da integral:
\hat{\chi}_{I}(\omega)=-\frac{1}{\pi}\,\mathrm{P.V.}\int_{0}^{\infty}\hat{\chi}_{R}(\xi)\frac{2\omega}{\xi^{2}-\omega^{2}}\,d\xi.
Colocando de forma compacta:
\hat{\chi}_{I}(\omega)=-\frac{2\omega}{\pi}\,\mathrm{P.V.}\int_{0}^{\infty}\frac{\hat{\chi}_{R}(\xi)}{\xi^{2}-\omega^{2}}\,d\xi.

Passo 7

Observações finais rápidas (úteis para a prova):
  • As fórmulas válidas para \omega real são \hat{\chi}_{R}(\omega)=\frac{2}{\pi}\,\mathrm{P.V.}\int_{0}^{\infty}\frac{\xi\,\hat{\chi}_{I}(\xi)}{\xi^{2}-\omega^{2}}\,d\xi, \qquad \hat{\chi}_{I}(\omega)=-\frac{2\omega}{\pi}\,\mathrm{P.V.}\int_{0}^{\infty}\frac{\hat{\chi}_{R}(\xi)}{\xi^{2}-\omega^{2}}\,d\xi.
  • Para \omega=0 nota-se diretamente que \hat{\chi}_{I}(0)=0 (por ser ímpar) e \hat{\chi}_{R}(0)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{\hat{\chi}_{I}(\xi)}{\xi}\,d\xi,onde não há \mathrm{P.V.} porque a singularidade \xi^{2}-0 não aparece na integração de \xi>0 de forma problemática além de \xi\to0 que é tratada pela propriedade ímpar de \hat{\chi}_I (em muitos contextos físicos a integral converge).
  • Essas fórmulas mostram explicitamente que, conhecendo \hat{\chi}_{R} e \hat{\chi}_{I} apenas para \xi\ge0, é possível reconstruir uma parte a partir da outra graças às paridades.

Resposta

\hat{\chi}_{R}(\omega)=\frac{2}{\pi}\,\mathrm{P.V.}\int_{0}^{\infty}\frac{\xi\,\hat{\chi}_{I}(\xi)}{\xi^{2}-\omega^{2}}\,d\xi
\hat{\chi}_{I}(\omega)=-\frac{2\omega}{\pi}\,\mathrm{P.V.}\int_{0}^{\infty}\frac{\hat{\chi}_{R}(\xi)}{\xi^{2}-\omega^{2}}\,d\xi

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