1. Identifique o lugar geométrico dos pontos P(x, y, z), tais que |A P|^2+|B P|^2=9, sendo A(1,-1,2) e B(2,1,0).
    (resp.: a esfera de centro C(3 / 2,1,3 / 2) e raio R=raiz15 / 2 )

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P(x,y,z) tais que
|AP|^2+|BP|^2=9
onde A=(1,-1,2) e B=(2,1,0). Vamos usar geometria analítica: expandir as normas ao quadrado, arrumar em forma de esfera e completar quadrados para encontrar centro e raio.

Passo 2

Escrevendo
|AP|^2=(x-1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2, |BP|^2=(x-2)^2+(y-1)^2+z^2,
temos
(x-1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2+(x-2)^2+(y-1)^2+z^2=9

Passo 3

Expandindo e somando termos semelhantes:
&(x-1)^2+(x-2)^2=2x^2-6x+5, &(y+1)^2+(y-1)^2=2y^2+2, &(z-2)^2+z^2=2z^2-4z+4
Logo a soma é
2x^2+2y^2+2z^2-6x-4z+(5+2+4)=9
Leftrightarrow;2(x^2+y^2+z^2)-6x-4z+11=9
Leftrightarrow;x^2+y^2+z^2-3x-2z+1=0

Passo 4

Agora completamos quadrados em x e em z:
x^2-3x=(x-tfrac32)^2-tfrac94, z^2-2z=(z-1)^2-1
Substituindo em
x^2+y^2+z^2-3x-2z+1=0
vem
(x-tfrac32)^2-tfrac94 ;+;y^2;+;(z-1)^2-1;+;1=0
Leftrightarrow;(x-tfrac32)^2+y^2+(z-1)^2=tfrac94

Resposta

O lugar geométrico é a esfera de centro
Cl(tfrac32,,0,,1r)
e raio
R=tfrac32

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