Sejam X, Y e Z espaços normados sobre K. Sejam T in L(X, Y) e S in L(Y, Z).
(a) Prove que S circ T in L(X, Z) e que |S circ T| <=|S||T|.
(b) Dê um exemplo para mostrar que a desigualdade pode ser estrita.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas transformações lineares contínuas Tcolon Xto Y e Scolon Yto Z, a composição Scirc T também é linear e contínua, e que vale a desigualdade
|Scirc T|<=|S|,|T|
Para isso vamos usar a definição de norma de operador
|U|=sup|x|<=1|U(x)|
e propriedades básicas de supremum e de transformações lineares.

Passo 2

Como Tin L(X,Y) e Sin L(Y,Z), sabemos que ambas são lineares e têm norma finita:
|T|=sup|x|<=1|T(x)|<infty, |S|=sup|y|<=1|S(y)|<infty
Nossa meta é estimar |(Scirc T)(x)| em função de |x|.

Passo 3

Primeiro, a composição de lineares é linear. De fato, para quaisquer x1,x2in X e alpha,betain K,
(Scirc T)(alpha x1+beta x2) = Sl(T(alpha x1+beta x2)r) = Sl(alpha T(x1)+beta T(x2)r) = alpha,S(T(x1))+beta,S(T(x2))

Passo 4

Agora, para todo xin X, aplicamos a definição de norma de operador em S e depois em T:
|S(T(x))|;<=;|S|;|T(x)| ;<=;|S|;l(|T|;|x|r) ;=;|S|,|T|;|x|
Tomando supremum sobre todos os x com |x|<=1, segue
|Scirc T| =sup|x|<=1|S(T(x))| <=|S|,|T|

Passo 5

Como mostramos que Scirc T é linear e existe constante C=|S||T| tal que
|Scirc T(x)|<= C,|x| para todo x, concluímos que Scirc T é contínua. Logo
Scirc Tin L(X,Z) e |Scirc T|<=|S|,|T|

Passo 6

Para ver que a desigualdade pode ser estrita, considere X=Y=Z= R^2 com a norma euclidiana e defina
T(x1,x2)=(x1,0), S(y1,y2)=(0,y2)
Cada projeção tem norma |T|=1 e |S|=1. Mas
(Scirc T)(x1,x2) = S(x1,0) = (0,0),
logo |Scirc T|=0<1cdot1, mostrando que a desigualdade pode ser estrita.

Resposta

Ficou provado que Scirc Tin L(X,Z) e |Scirc T|<=|S|,|T|. O exemplo das projeções em eixos em R^2 demonstra que essa desigualdade pode ser estrita.

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