Sejam
e
espaços normados sobre
. Sejam
e
.
(a) Prove que
e que
.
(b) Dê um exemplo para mostrar que a desigualdade pode ser estrita.
(a) Prove que
(b) Dê um exemplo para mostrar que a desigualdade pode ser estrita.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas transformações lineares contínuas
e
, a composição
também é linear e contínua, e que vale a desigualdade
Para isso vamos usar a definição de norma de operador
e propriedades básicas de supremum e de transformações lineares.
Passo 2
Como
e
, sabemos que ambas são lineares e têm norma finita:
Nossa meta é estimar
em função de
.
Passo 3
Primeiro, a composição de lineares é linear. De fato, para quaisquer
e
,
Passo 4
Agora, para todo
, aplicamos a definição de norma de operador em
e depois em
:
Tomando supremum sobre todos os
com
, segue
Passo 5
Como mostramos que
é linear e existe constante
tal que
para todo
, concluímos que
é contínua. Logo
Passo 6
Para ver que a desigualdade pode ser estrita, considere
com a norma euclidiana e defina
Cada projeção tem norma
e
. Mas
logo
, mostrando que a desigualdade pode ser estrita.
Resposta
Ficou provado que
e
. O exemplo das projeções em eixos em
demonstra que essa desigualdade pode ser estrita.