Identifique o método de integração e resolva os exercícios a seguir.
\int \frac{x^{2}}{x^{3}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}}{x^{3}+1}\,dx.
Informações relevantes: o integrando é uma função racional cujo numerador tem grau 2 e o denominador tem grau 3. A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função.

Passo 2

Observação chave (padrão a buscar na prova): se o denominador é x^{3}+1, sua derivada é 3x^{2}. O numerador é x^{2}, que é exatamente \tfrac{1}{3} da derivada do denominador. Esse é o sinal clássico de que uma substituição simples vai transformar a integral num logaritmo natural. Não vamos complicar com frações parciais porque a substituição é muito mais direta aqui.

Passo 3

Fazer a substituição sugerida pelo padrão:
u = x^{3}+1.
Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du = 3x^{2}\,dx.
Isolando x^{2}\,dx temos
x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 4

Trocar na integral original usando u e du. Substituindo x^{2}\,dx e x^{3}+1:
\int \frac{x^{2}}{x^{3}+1}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,du.

Passo 5

Integrar \int \frac{1}{u}\,du. Lembrando a fórmula básica:
\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C,
onde C é a constante de integração e o valor absoluto aparece porque o logaritmo natural só está definido para argumentos positivos. Portanto
\frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{3}\ln|u| + C.

Passo 6

Reverter a substituição u = x^{3}+1:
\frac{1}{3}\ln|u| + C = \frac{1}{3}\ln\!\big|x^{3}+1\big| + C.
Esse é o resultado final. Observação rápida: a constante C pode absorver sinais e constantes adicionais, então a forma está correta para todo x tal que x^{3}+1\neq0; o uso do valor absoluto cobre o caso onde x^{3}+1<0.

Passo 7

Verificação diferenciando a resposta: derivando \frac{1}{3}\ln\!\big|x^{3}+1\big| usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}\ln\!\big|x^{3}+1\big|\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{3}+1}\cdot 3x^{2}=\frac{x^{2}}{x^{3}+1},
o que recupera exatamente o integrando — verificação concluída.

Passo 8

Pequeno reforço (exemplo semelhante): para fixar a ideia, veja
\int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx.
Aqui u=x^{2}+1 du=2x\,dx, então a integral vira \int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C=\ln|x^{2}+1|+C. Mesmo padrão: numerador é a derivada (ou proporção da derivada) do denominador.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\ln\!\big|x^{3}+1\big|+C

Exercícios relacionados