Identifique o método de integração e resolva os exercícios a seguir.
\int \frac{3 x+2}{x^{2}+3 x+2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{3x+2}{x^{2}+3x+2}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é a razão \dfrac{3x+2}{x^{2}+3x+2}.
  • O denominador é o polinômio quadrático x^{2}+3x+2.
    A pergunta é única: encontrar uma primitiva (ou antiderivada) da função indicada.

Passo 2

Vamos analisar o denominador para simplificar a expressão. Fatoramos o polinômio quadrático x^{2}+3x+2. Procuramos dois números que somem 3 e cujo produto seja 2. Esses números são 1 e 2. Portanto,
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).

Passo 3

Decidimos uma estratégia: como o denominador fatorou em fatores lineares distintos e o grau do numerador ( 1) é menor que o do denominador ( 2), a técnica mais direta é a decomposição em frações parciais. A ideia é escrever a função racional como soma de frações simples cuja antiderivada é conhecida.

Passo 4

Escrevemos a decomposição em frações parciais com constantes A e B:
\frac{3x+2}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}.

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por (x+1)(x+2) para obter uma identidade polinomial:
3x+2 = A(x+2)+B(x+1).
Agora encontramos A e B. Um jeito rápido é substituir valores de x que anulam fatores:
  • Para x=-2: 3(-2)+2=-6+2=-4. No lado direito só sobra B(-2+1)=B(-1). Assim -4 = -B, logo B=4.
  • Para x=-1: 3(-1)+2=-3+2=-1. No lado direito só sobra A(-1+2)=A(1). Assim -1 = A, logo A=-1.
    Podemos conferir: A+B=-1+4=3 (coeficiente de x) e 2A+B=2(-1)+4=2 (termo constante), batendo com 3x+2.

Passo 6

Substituindo A e B na decomposição, obtemos
\frac{3x+2}{x^{2}+3x+2}=\frac{-1}{x+1}+\frac{4}{x+2}.

Passo 7

Integramos termo a termo. Lembre que a fórmula básica é: para qualquer constante a,
\int \frac{1}{x+a}\,dx=\ln|x+a|+C,
porque a derivada de \ln|x+a| é \dfrac{1}{x+a}. Aplicando isso:
\int \frac{-1}{x+1}\,dx = -\ln|x+1| + C_1,
\int \frac{4}{x+2}\,dx = 4\ln|x+2| + C_2.

Passo 8

Somando as primitivas (absorvendo C_1 e C_2 numa constante única C), a antiderivada é
-\ln|x+1|+4\ln|x+2|+C.
Opcionalmente, podemos combinar os logaritmos em um único logaritmo:
\ln\!\left(\frac{(x+2)^{4}}{x+1}\right)+C,
mas a forma explícita com somas de logaritmos já é perfeitamente adequada.

Resposta

-\ln|x+1|+4\ln|x+2|+C

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