Identifique o método de integração e resolva os exercícios a seguir.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é a razão
. - O denominador é o polinômio quadrático
.
A pergunta é única: encontrar uma primitiva (ou antiderivada) da função indicada.
Passo 2
Vamos analisar o denominador para simplificar a expressão. Fatoramos o polinômio quadrático
. Procuramos dois números que somem
e cujo produto seja
. Esses números são
e
. Portanto,
Passo 3
Decidimos uma estratégia: como o denominador fatorou em fatores lineares distintos e o grau do numerador (
) é menor que o do denominador (
), a técnica mais direta é a decomposição em frações parciais. A ideia é escrever a função racional como soma de frações simples cuja antiderivada é conhecida.
Passo 4
Escrevemos a decomposição em frações parciais com constantes
e
:
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por
para obter uma identidade polinomial:
Agora encontramos
e
. Um jeito rápido é substituir valores de
que anulam fatores:
- Para
: . No lado direito só sobra . Assim , logo . - Para
: . No lado direito só sobra . Assim , logo .
Podemos conferir:(coeficiente de ) e (termo constante), batendo com .
Passo 6
Substituindo
e
na decomposição, obtemos
Passo 7
Integramos termo a termo. Lembre que a fórmula básica é: para qualquer constante
,
porque a derivada de
é
. Aplicando isso:
Passo 8
Somando as primitivas (absorvendo
e
numa constante única
), a antiderivada é
Opcionalmente, podemos combinar os logaritmos em um único logaritmo:
mas a forma explícita com somas de logaritmos já é perfeitamente adequada.