Obtenha a Série exponencial de Fourier dos seguintes sinais:
-
Passo 1
Enunciado e o que se pede: temos o sinal
e a tarefa é obter a sua série exponencial de Fourier, isto é escrever
e encontrar os coeficientes
. Informações fornecidas pelo enunciado que vamos usar:
é periódico com período
e a frequência angular fundamental é
. Não há nada mais a pedir além de obter a série exponencial e os coeficientes.
Passo 2
Fórmula dos coeficientes da série exponencial e significado das variáveis: os coeficientes
onde
é o período,
é a frequência angular fundamental,
é um inteiro (índice da série) e
é qualquer instante de início de integração sobre um período. Essa fórmula vem da propriedade de ortogonalidade dos complexos exponenciais
no intervalo de um período: se
é inteiro,
Vou usar essa fórmula mais adiante para calcular os (c_k].]
Passo 3
Reescrever
em termos de exponenciais (fórmula de Euler): é muito prático para séries exponenciais. A identidade é
Aplicando com
obtemos
Essa expressão já é uma combinação linear de
com
e
, o que indica imediatamente quais coeficientes
devem aparecer na série exponencial.
Passo 4
Identificação direta dos coeficientes pela comparação: a série exponencial tem a forma
Comparando com
vemos que os únicos termos não nulos são os correspondentes a
e
. Logo
e para todo
diferente de
temos
. Podemos simplificar numericamente
, então
Passo 5
Verificação via integral (uso da ortogonalidade): para confirmar, calculemos
pela fórmula integral. Usando
,
Substituindo a expressão exponencial de
:
Usando a ortogonalidade, cada integral é zero salvo quando o expoente da exponencial é zero:
- o primeiro termo tem fator
, que integra para somente se , isto é ; - o segundo termo tem fator
, que integra para somente se , isto é .
Assim: - para
: o primeiro integral vale e o segundo vale , então . - para
: o primeiro integral vale e o segundo vale (atenção ao sinal; substuindo temos integrando dá ), assim
Para todo
ambos os integrandos dão integrais nulas, logo
. (As contas com os sinais conferem com a identificação direta.)
Passo 6
Escrevendo a série exponencial explicitamente: com os coeficientes encontrados, a série fica apenas com dois termos não nulos:
o que, ao juntar os termos, reproduz
como esperado.