Obtenha a Série exponencial de Fourier dos seguintes sinais:
  • x(t)=\sin \left(\omega_{0} t\right)

Passo 1

Enunciado e o que se pede: temos o sinal x(t)=\sin\left(\omega_{0} t\right) e a tarefa é obter a sua série exponencial de Fourier, isto é escrever
x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \, e^{j k \omega t}
e encontrar os coeficientes c_k. Informações fornecidas pelo enunciado que vamos usar: x(t) é periódico com período \displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega_{0}} e a frequência angular fundamental é \displaystyle \omega=\omega_{0}. Não há nada mais a pedir além de obter a série exponencial e os coeficientes.

Passo 2

Fórmula dos coeficientes da série exponencial e significado das variáveis: os coeficientes c_k\) são dados por \[c_k=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} x(t)\,e^{-j k \omega t}\,dt,
onde \displaystyle T é o período, \displaystyle \omega=\frac{2\pi}{T} é a frequência angular fundamental, k é um inteiro (índice da série) e t_0 é qualquer instante de início de integração sobre um período. Essa fórmula vem da propriedade de ortogonalidade dos complexos exponenciais e^{j k\omega t} no intervalo de um período: se n é inteiro,
\int_{t_0}^{t_0+T} e^{j n \omega t}\,dt = \begin{cases} T, & n=0,\\[4pt] 0, & n\neq 0.\end{cases}
Vou usar essa fórmula mais adiante para calcular os (c_k].]

Passo 3

Reescrever \sin em termos de exponenciais (fórmula de Euler): é muito prático para séries exponenciais. A identidade é
\sin\theta=\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j}.
Aplicando com \theta=\omega_{0} t obtemos
x(t)=\sin\left(\omega_{0} t\right)=\frac{e^{j\omega_{0} t}-e^{-j\omega_{0} t}}{2j}.
Essa expressão já é uma combinação linear de e^{j k \omega_{0} t} com k=+1 e k=-1, o que indica imediatamente quais coeficientes c_k devem aparecer na série exponencial.

Passo 4

Identificação direta dos coeficientes pela comparação: a série exponencial tem a forma
x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \, e^{j k \omega_{0} t}.
Comparando com
x(t)=\frac{1}{2j}\,e^{j\omega_{0} t}-\frac{1}{2j}\,e^{-j\omega_{0} t},
vemos que os únicos termos não nulos são os correspondentes a k=1 e k=-1. Logo
c_{1}=\frac{1}{2j},\qquad c_{-1}=-\frac{1}{2j},
e para todo k diferente de \pm 1 temos c_k=0. Podemos simplificar numericamente 1/(2j)=-\dfrac{j}{2}, então
c_{1}=-\frac{j}{2},\qquad c_{-1}=\frac{j}{2}.

Passo 5

Verificação via integral (uso da ortogonalidade): para confirmar, calculemos c_k pela fórmula integral. Usando T=\dfrac{2\pi}{\omega_{0}},
c_k=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \sin(\omega_{0} t)\,e^{-j k \omega_{0} t}\,dt.
Substituindo a expressão exponencial de \sin:
c_k=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\left(\frac{e^{j\omega_{0} t}-e^{-j\omega_{0} t}}{2j}\right)e^{-j k \omega_{0} t}\,dt =\frac{1}{2jT}\int_{0}^{T}\left(e^{j(1-k)\omega_{0} t}-e^{-j(1+k)\omega_{0} t}\right)\,dt.
Usando a ortogonalidade, cada integral é zero salvo quando o expoente da exponencial é zero:
  • o primeiro termo tem fator e^{j(1-k)\omega_{0} t}, que integra para T somente se 1-k=0, isto é k=1;
  • o segundo termo tem fator e^{-j(1+k)\omega_{0} t}=e^{j(-1-k)\omega_{0} t}, que integra para T somente se -1-k=0, isto é k=-1.
    Assim:
  • para k=1: o primeiro integral vale T e o segundo vale 0, então c_1=\dfrac{1}{2jT}\cdot T=\dfrac{1}{2j}.
  • para k=-1: o primeiro integral vale 0 e o segundo vale -T (atenção ao sinal; substuindo k=-1 temos -e^{-j(1+(-1))\omega_0 t}=-e^{0}= -1 integrando dá -T), assim c_{-1}=\frac{1}{2jT}\cdot\big(0-(-T)\big)=-\frac{1}{2j}\quad\text{o que coincide com a identificação anterior.}çã
Para todo k\neq\pm1 ambos os integrandos dão integrais nulas, logo c_k=0. (As contas com os sinais conferem com a identificação direta.)

Passo 6

Escrevendo a série exponencial explicitamente: com os coeficientes encontrados, a série fica apenas com dois termos não nulos:
x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{j k \omega_{0} t}=c_{1}e^{j\omega_{0} t}+c_{-1}e^{-j\omega_{0} t} =-\frac{j}{2}e^{j\omega_{0} t}+\frac{j}{2}e^{-j\omega_{0} t},
o que, ao juntar os termos, reproduz \sin(\omega_{0} t) como esperado.

Resposta

c_{1}=-\frac{j}{2},\qquad c_{-1}=\frac{j}{2},\qquad c_k=0\\ \text{para}\\ k\neq\pm1.
x(t)=-\frac{j}{2}e^{j\omega_{0} t}+\frac{j}{2}e^{-j\omega_{0} t}.

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