Identifique o método de integração e resolva os exercícios a seguir.
\int \sqrt{x^{2}+9} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sqrt{x^{2}+9}\,dx.
Informações dadas que vamos usar:
\text{integrando: }\sqrt{x^{2}+9}=\sqrt{x^{2}+3^{2}}.
Não há limites (é uma primitiva indefinida). O objetivo é encontrar uma função cuja derivada seja \sqrt{x^{2}+9}.

Passo 2

Escolhemos uma substituição trigonométrica. Intuição e objetivo desta escolha (explicado de forma simples): quando aparece uma raiz do tipo \sqrt{x^{2}+a^{2}}, a substituição x=a\tan\theta transforma a raiz numa função trigonométrica simples, porque temos a identidade \,1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta\,, o que elimina a raiz. Aqui a=3, então tomamos a substituição
x=3\tan\theta.
Agora calculamos o diferencial dx e expressamos a raiz em termos de \theta. Diferenciando, obtemos
dx=3\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Com a substituição x=3\tan\theta, fazemos também a relação da raiz. Pense num triângulo retângulo com ângulo \theta, cateto oposto x e cateto adjacente 3. Pelo teorema de Pitágoras a hipotenusa é \sqrt{x^{2}+3^{2}}=\sqrt{x^{2}+9}. Assim
\tan\theta=\frac{x}{3}\quad\Rightarrow\quad \operatorname{sec}\theta=\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{3}.
Logo
\sqrt{x^{2}+9}=3\operatorname{sec}\theta.

Passo 3

Substituímos tudo na integral original. Usando \sqrt{x^{2}+9}=3\operatorname{sec}\theta e dx=3\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta, temos
\int \sqrt{x^{2}+9}\,dx=\int \big(3\operatorname{sec}\theta\big)\big(3\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta\big).
Multiplicando constantes,
\int \sqrt{x^{2}+9}\,dx=9\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.
Portanto reduzimos o problema a calcular \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.

Passo 4

Agora precisamos integrar \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta. Vamos fazer por partes (um truque padrão). Relembre a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolhemos u=\operatorname{sec}\theta e dv=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta. Então
du=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta,\qquad v=\tan\theta.
Aplicando partes:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \tan\theta\big(\operatorname{sec}\theta\tan\theta\big)\,d\theta.
No integrando da segunda integral aparece \tan^{2}\theta\operatorname{sec}\theta. Use a identidade \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1 para simplificar:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}\theta(\operatorname{sec}^{2}\theta-1)\,d\theta.
Desenvolvendo:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta + \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Agora isolamos \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta somando \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta aos dois lados:
2\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta + \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Logo
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.

Passo 5

Falta calcular \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta. Vamos mostrar um método clássico e rápido: multiplicamos integrando por \dfrac{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta} e usamos substituição. Observe que
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \int \frac{\operatorname{sec}\theta(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}\,d\theta.
Coloque u=\operatorname{sec}\theta+\tan\theta. Então
du=(\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\operatorname{sec}^{2}\theta)\,d\theta=\operatorname{sec}\theta(\tan\theta+\operatorname{sec}\theta)\,d\theta.
Portanto o numerador é exatamente du, e obtemos
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \int \frac{du}{u} = \ln\big|u\big| + C = \ln\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big| + C.
Substituindo isso em relação a \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta,
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big| + C.

Passo 6

Voltamos à variável x. Lembrando que a integral original é 9 vezes essa expressão:
\int \sqrt{x^{2}+9}\,dx = 9\left(\frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big|\right) + C.
Simplificando a constante 9\cdot\frac{1}{2}=\frac{9}{2}:
\int \sqrt{x^{2}+9}\,dx = \frac{9}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{9}{2}\ln\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big| + C.
Agora substituímos \operatorname{sec}\theta e \tan\theta em termos de x. Da relação do triângulo (Passo 2):
\operatorname{sec}\theta=\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{3},\qquad \tan\theta=\frac{x}{3}.
Calcule o primeiro termo:
\frac{9}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta = \frac{9}{2}\cdot\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{3}\cdot\frac{x}{3} = \frac{9}{2}\cdot\frac{x\sqrt{x^{2}+9}}{9} = \frac{1}{2}x\sqrt{x^{2}+9}.
O segundo termo fica
\frac{9}{2}\ln\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big| = \frac{9}{2}\ln\left|\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{3}+\frac{x}{3}\right| = \frac{9}{2}\ln\left|\frac{x+\sqrt{x^{2}+9}}{3}\right|.
A constante \ln 3 resultante pode ser absorvida na constante de integração C. Portanto a forma simplificada e padrão da primitiva é
\int \sqrt{x^{2}+9}\,dx = \frac{1}{2}x\sqrt{x^{2}+9} + \frac{9}{2}\ln\big|x+\sqrt{x^{2}+9}\big| + C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil): derivando a resposta \displaystyle \frac{1}{2}x\sqrt{x^{2}+9} + \frac{9}{2}\ln\big|x+\sqrt{x^{2}+9}\big| pelo produto e pela cadeia, recuperamos \sqrt{x^{2}+9}. Isso confirma que a primitiva está correta (os detalhes da derivação seguem regras padrão de derivação do produto e de \ln).

Resposta

\frac{1}{2}x\sqrt{x^{2}+9}+\frac{9}{2}\ln\big|x+\sqrt{x^{2}+9}\big|+C

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