Não há limites (é uma primitiva indefinida). O objetivo é encontrar uma função cuja derivada seja \sqrt{x^{2}+9}.
Passo 2
Escolhemos uma substituição trigonométrica. Intuição e objetivo desta escolha (explicado de forma simples): quando aparece uma raiz do tipo \sqrt{x^{2}+a^{2}}, a substituição x=a\tan\theta transforma a raiz numa função trigonométrica simples, porque temos a identidade \,1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta\,, o que elimina a raiz. Aqui a=3, então tomamos a substituição
x=3\tan\theta.
Agora calculamos o diferencial dx e expressamos a raiz em termos de \theta. Diferenciando, obtemos
dx=3\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Com a substituição x=3\tan\theta, fazemos também a relação da raiz. Pense num triângulo retângulo com ângulo \theta, cateto oposto x e cateto adjacente 3. Pelo teorema de Pitágoras a hipotenusa é \sqrt{x^{2}+3^{2}}=\sqrt{x^{2}+9}. Assim
Portanto reduzimos o problema a calcular \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.
Passo 4
Agora precisamos integrar \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta. Vamos fazer por partes (um truque padrão). Relembre a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolhemos u=\operatorname{sec}\theta e dv=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta. Então
No integrando da segunda integral aparece \tan^{2}\theta\operatorname{sec}\theta. Use a identidade \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1 para simplificar:
Falta calcular \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta. Vamos mostrar um método clássico e rápido: multiplicamos integrando por \dfrac{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta} e usamos substituição. Observe que
A constante \ln 3 resultante pode ser absorvida na constante de integração C. Portanto a forma simplificada e padrão da primitiva é
\int \sqrt{x^{2}+9}\,dx = \frac{1}{2}x\sqrt{x^{2}+9} + \frac{9}{2}\ln\big|x+\sqrt{x^{2}+9}\big| + C.
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil): derivando a resposta \displaystyle \frac{1}{2}x\sqrt{x^{2}+9} + \frac{9}{2}\ln\big|x+\sqrt{x^{2}+9}\big| pelo produto e pela cadeia, recuperamos \sqrt{x^{2}+9}. Isso confirma que a primitiva está correta (os detalhes da derivação seguem regras padrão de derivação do produto e de \ln).