Identifique o método de integração e resolva os exercícios a seguir.
Passo 1
O enunciado pede que eu identifique o método de integração e calcule a integral
Informações relevantes do enunciado:
Não há outras condições. Vou transformar essa expressão algébrica para poder integrar termo a termo.
Passo 2
Decidindo o método: trata-se de uma função racional (fração de polinômios). Observações que justificam o método:
- O grau do numerador é
e o grau do denominador é , então a fração é própria (grau do numerador menor que o do denominador), o que permite decompor em frações mais simples. - O denominador factoriza como
. O fator é linear e é um quadrático irredutível sobre os reais.
Para decompor uma função com um fator linear e um quadrático irreduzível, usamos a forma
onde
são constantes a determinar. Esta técnica chama-se decomposição em frações parciais — eu vou aplicá-la porque facilita a integração termo a termo.
Passo 3
Multiplico ambos os lados por
para eliminar denominadores e obter uma igualdade polinomial:
Vou expandir o lado direito e agrupar termos semelhantes.
Passo 4
Expansão e agrupamento:
Comparando com o polinômio do lado esquerdo
Da terceira equação segue
. Da segunda,
.
Portanto a decomposição fica
Passo 5
Agora separo a integral em três integrandas mais simples:
Vou tratar cada uma com a técnica adequada, explicando cada fórmula usada.
- Para
:
A fórmula básica é.
Como há constante multiplicativa,
- Para
:
Uso a substituição natural. Então , ou seja .
Assim
Voltando para
, como
para todo
, posso escrever
- Para
:
Usamos a primitiva padrão.
Portanto
Passo 6
Somando as três parcelas obtidas e adicionando a constante de integração
: