Identifique o método de integração e resolva os exercícios a seguir.
\int \frac{3 x+5}{x\left(x^{2}+1\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede que eu identifique o método de integração e calcule a integral
\int \frac{3x+5}{x\left(x^{2}+1\right)}\,dx.
Informações relevantes do enunciado:
\text{Integrando: }\frac{3x+5}{x(x^{2}+1)}.
Não há outras condições. Vou transformar essa expressão algébrica para poder integrar termo a termo.

Passo 2

Decidindo o método: trata-se de uma função racional (fração de polinômios). Observações que justificam o método:
  • O grau do numerador é 1 e o grau do denominador é 3, então a fração é própria (grau do numerador menor que o do denominador), o que permite decompor em frações mais simples.
  • O denominador factoriza como x(x^{2}+1). O fator x é linear e x^{2}+1 é um quadrático irredutível sobre os reais.
    Para decompor uma função com um fator linear e um quadrático irreduzível, usamos a forma
\frac{3x+5}{x(x^{2}+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1},
onde A,B,C são constantes a determinar. Esta técnica chama-se decomposição em frações parciais — eu vou aplicá-la porque facilita a integração termo a termo.

Passo 3

Multiplico ambos os lados por x(x^{2}+1) para eliminar denominadores e obter uma igualdade polinomial:
3x+5 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)x.
Vou expandir o lado direito e agrupar termos semelhantes.

Passo 4

Expansão e agrupamento:
A(x^{2}+1) + (Bx+C)x = A x^{2} + A + B x^{2} + C x = (A+B)x^{2} + C x + A.
Comparando com o polinômio do lado esquerdo 3x+5\), que é igual a \(0\cdot x^{2} + 3x + 5\), temos o sistema de equações para os coeficientes: \[\begin{cases} A + B = 0 &\text{(coeficiente de }x^{2}\text{)}\\[4pt] C = 3 &\text{(coeficiente de }x\text{)}\\[4pt] A = 5 &\text{(termo independente)} \end{cases}
Da terceira equação segue A=5\]. Da primeira, \(B = -A = -5. Da segunda, C=3.
Portanto a decomposição fica
\frac{3x+5}{x(x^{2}+1)} = \frac{5}{x} + \frac{-5x+3}{x^{2}+1}.]

Passo 5

Agora separo a integral em três integrandas mais simples:
\int \frac{3x+5}{x(x^{2}+1)}\,dx = \int \frac{5}{x}\,dx + \int \frac{-5x}{x^{2}+1}\,dx + \int \frac{3}{x^{2}+1}\,dx.
Vou tratar cada uma com a técnica adequada, explicando cada fórmula usada.
  1. Para \displaystyle \int \frac{5}{x}\,dx:
    A fórmula básica é \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
    Como há constante multiplicativa 5,
\int \frac{5}{x}\,dx = 5\ln|x|.
  1. Para \displaystyle \int \frac{-5x}{x^{2}+1}\,dx:
    Uso a substituição natural u = x^{2}+1. Então du = 2x\,dx, ou seja x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du.
    Assim
\int \frac{-5x}{x^{2}+1}\,dx = -5\int \frac{x\,dx}{x^{2}+1} = -5\int \frac{1}{2}\frac{du}{u} = -\frac{5}{2}\int \frac{du}{u} = -\frac{5}{2}\ln|u|.
Voltando para x, como u=x^{2}+1>0 para todo x, posso escrever
-\frac{5}{2}\ln(x^{2}+1).
  1. Para \displaystyle \int \frac{3}{x^{2}+1}\,dx:
    Usamos a primitiva padrão \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x + C.
    Portanto
\int \frac{3}{x^{2}+1}\,dx = 3\arctan x.

Passo 6

Somando as três parcelas obtidas e adicionando a constante de integração C:
\int \frac{3x+5}{x(x^{2}+1)}\,dx = 5\ln|x| - \frac{5}{2}\ln(x^{2}+1) + 3\arctan x + C.

Resposta

\;5\ln|x| - \dfrac{5}{2}\ln(x^{2}+1) + 3\arctan x + C

Exercícios relacionados