Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde
é crescente e decrescente. (veja Exemplo 1 do Texto 1)
Passo 1
Temos a função
dada por
O enunciado pede:
- Determinar os pontos críticos de
. - Classificar esses pontos críticos como máximos ou mínimos locais, quando for o caso.
- Determinar os intervalos onde
é crescente e onde é decrescente.
As informações fornecidas são apenas a expressão de
acima.
Passo 2
Primeiro, vou explicar um conceito essencial: a derivada. A derivada
de uma função em um ponto mede a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. Para funções de uma variável, regra prática importante:
- Se
em um intervalo, então é crescente nesse intervalo. - Se
em um intervalo, então é decrescente nesse intervalo.
Pontos críticos são pontos ondeou onde não está definida. Aqui é polinomial, então está definida em todo lugar; então procuramos .
Agora calculamos a derivada:
Passo 3
Vamos encontrar os pontos onde
. Igualando:
Dividindo por
:
Isso é uma diferença de quadrados; fatoramos:
Logo as soluções são
Portanto os pontos críticos (abscissas) são
e
.
Passo 4
Agora vamos estudar o sinal de
para determinar onde
é crescente/decrescente e classificar os pontos críticos. Temos
O fator
é sempre positivo, então o sinal de
vem do produto
.
Analisamos os intervalos determinados pelas raízes
e
:
- Para
: e , produto . Então em . Assim é crescente em . - Para
: e , produto . Então em . Assim é decrescente em . - Para
: e , produto . Então em . Assim é crescente em .
Resumo do teste de primeira derivada: aumenta → diminui em
indica máximo local; diminui → aumenta em
indica mínimo local. Vou formalizar isso no próximo passo.
Passo 5
Classificação dos pontos críticos usando o teste da primeira derivada e confirmando com a segunda derivada.
Primeiro, calculamos os valores de
nesses pontos (assim damos as coordenadas completas dos extremos):
Portanto os pontos são
e
.
Pelo sinal de
(Passo 4): em
a derivada passa de positiva para negativa (crescente → decrescente), logo
é um máximo local; em
a derivada passa de negativa para positiva (decrescente → crescente), logo
é um mínimo local.
Confirmando com a segunda derivada: a segunda derivada é
Avaliações:
As duas análises concordam.
Resposta
Pontos críticos:
e
(coordenadas
e
).
Classificação: é máximo local;
é mínimo local.
Intervalos de crescimento: e
.
Intervalo de decrescimento: .
Classificação:
Intervalos de crescimento:
Intervalo de decrescimento: