Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde f é crescente e decrescente. (veja Exemplo 1 do Texto 1)
f(x)=x^{3}-12 x-5

Passo 1

Temos a função f dada por
f(x)=x^{3}-12x-5.
O enunciado pede:
  1. Determinar os pontos críticos de f.
  2. Classificar esses pontos críticos como máximos ou mínimos locais, quando for o caso.
  3. Determinar os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente.
As informações fornecidas são apenas a expressão de f(x) acima.

Passo 2

Primeiro, vou explicar um conceito essencial: a derivada. A derivada f'(x) de uma função em um ponto mede a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. Para funções de uma variável, regra prática importante:
  • Se f'(x)>0 em um intervalo, então f é crescente nesse intervalo.
  • Se f'(x)<0 em um intervalo, então f é decrescente nesse intervalo.
    Pontos críticos são pontos onde f'(x)=0 ou onde f' não está definida. Aqui f é polinomial, então f' está definida em todo lugar; então procuramos f'(x)=0.
Agora calculamos a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-12x-5\bigr)=3x^{2}-12.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos onde f'(x)=0. Igualando:
3x^{2}-12=0.
Dividindo por 3:
x^{2}-4=0.
Isso é uma diferença de quadrados; fatoramos:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Logo as soluções são
x-2=0\Rightarrow x=2,\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2.
Portanto os pontos críticos (abscissas) são x=-2 e x=2.

Passo 4

Agora vamos estudar o sinal de f'(x) para determinar onde f é crescente/decrescente e classificar os pontos críticos. Temos
f'(x)=3(x-2)(x+2).
O fator 3 é sempre positivo, então o sinal de f'(x) vem do produto (x-2)(x+2).
Analisamos os intervalos determinados pelas raízes -2 e 2:
  • Para x<-2: x+2<0 e x-2<0, produto (x-2)(x+2)>0. Então f'(x)>0 em (-\infty,-2). Assim f é crescente em (-\infty,-2).
  • Para -2<x<2: x+2>0 e x-2<0, produto (x-2)(x+2)<0. Então f'(x)<0 em (-2,2). Assim f é decrescente em (-2,2).
  • Para x>2: x+2>0 e x-2>0, produto (x-2)(x+2)>0. Então f'(x)>0 em (2,\infty). Assim f é crescente em (2,\infty).
Resumo do teste de primeira derivada: aumenta → diminui em -2 indica máximo local; diminui → aumenta em 2 indica mínimo local. Vou formalizar isso no próximo passo.

Passo 5

Classificação dos pontos críticos usando o teste da primeira derivada e confirmando com a segunda derivada.
Primeiro, calculamos os valores de f nesses pontos (assim damos as coordenadas completas dos extremos):
f(-2)=(-2)^{3}-12(-2)-5=-8+24-5=11,
f(2)=2^{3}-12(2)-5=8-24-5=-21.
Portanto os pontos são (-2,11) e (2,-21).
Pelo sinal de f' (Passo 4): em x=-2 a derivada passa de positiva para negativa (crescente → decrescente), logo x=-2 é um máximo local; em x=2 a derivada passa de negativa para positiva (decrescente → crescente), logo x=2 é um mínimo local.
Confirmando com a segunda derivada: a segunda derivada é
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-12\bigr)=6x.
Avaliações:
f''(-2)=6(-2)=-12<0\quad\Rightarrow\quad\text{concavidade para baixo em }x=-2\Rightarrow\text{máximo local},á
f''(2)=6(2)=12>0\quad\Rightarrow\quad\text{concavidade para cima em }x=2\Rightarrow\text{mínimo local}.í
As duas análises concordam.

Resposta

Pontos críticos: x=-2 e x=2 (coordenadas (-2,11) e (2,-21)).
Classificação: (-2,11) é máximo local; (2,-21) é mínimo local.
Intervalos de crescimento: (-\infty,-2) e (2,\infty).
Intervalo de decrescimento: (-2,2).

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