Lista de Exercícios 1
Exercício 2 Seja V=R^2 e F=R. Considere alpha in R, u, v in R^2, com u=(x1, y1), v=(x2, y2), definamos as operações:
u+v=(x1+x2, y1+y2) e alpha cdot u=(alpha x1, 0)
Nestas condições V é um espaço vetorial sobre F ? Por quê?

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto V=R^2 com a soma usual
u+v=(x1+x2,;y1+y2)
e uma multiplicação por escalar fora do comum
alphacdot u=(alpha x1,;0)
Queremos verificar se isso satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R. Vamos checar primeiro a parte de soma (que deve formar um grupo abeliano) e depois os axiomas que envolvem a multiplicação por escalares.

Passo 2

Verificamos que (V,+) é de fato um grupo abeliano:
  • Fechamento: a soma (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2) está em R^2.
  • Elemento neutro: (0,0), pois (x1,y1)+(0,0)=(x1,y1).
  • Inverso: para u=(x1,y1), o inverso é -u=(-x1,-y1).
  • Comutatividade e associatividade seguem da soma em R.

Passo 3

Checamos os axiomas de multiplicação por escalar restantes:
  1. Fechamento: para todo alphainR e uin V, alphacdot u=(alpha x1,0)inR^2.
  2. Distributividade em relação à soma de vetores:
alphacdot(u+v) =l(alpha(x1+x2),0r) =(alpha x1+alpha x2,0) =(alpha x1,0)+(alpha x2,0) =alphacdot u+alphacdot v
  1. Distributividade em relação à soma de escalares:
(alpha+beta)cdot u =l((alpha+beta)x1,0r) =(alpha x1+beta x1,0) =(alpha x1,0)+(beta x1,0) =alphacdot u+betacdot u
  1. Compatibilidade com produto de escalares:
alphacdot(betacdot u) =alphacdot(beta x1,0) =(alphabeta x1,0) =(alphabeta)cdot u

Passo 4

Agora o axioma da unidade escalar exige que
1cdot u = upara todo uin V
Mas pelo nosso produto
1cdot u = (1cdot x1,0) = (x1,0),
que só coincide com u=(x1,y1) quando y1=0. Para um u genérico com y1neq0, temos 1cdot uneq u. Logo, falha o axioma da unidade.

Resposta

Não. A definição de alphacdot u=(alpha x1,0) faz com que 1cdot u=(x1,0)neq(x1,y1)=u sempre que y1neq0, violando o axioma que exige 1cdot u=u.

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