Lista de Exercícios 1
Exercício 2 Seja
e
. Considere
, com
,
, definamos as operações:
Nestas condições
é um espaço vetorial sobre
? Por quê?
Exercício 2 Seja
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
com a soma usual
e uma multiplicação por escalar fora do comum
Queremos verificar se isso satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
. Vamos checar primeiro a parte de soma (que deve formar um grupo abeliano) e depois os axiomas que envolvem a multiplicação por escalares.
Passo 2
Verificamos que
é de fato um grupo abeliano:
- Fechamento: a soma
está em . - Elemento neutro:
, pois . - Inverso: para
, o inverso é . - Comutatividade e associatividade seguem da soma em
.
Passo 3
Checamos os axiomas de multiplicação por escalar restantes:
- Fechamento: para todo
e , . - Distributividade em relação à soma de vetores:
- Distributividade em relação à soma de escalares:
- Compatibilidade com produto de escalares:
Passo 4
Agora o axioma da unidade escalar exige que
Mas pelo nosso produto
que só coincide com
quando
. Para um
genérico com
, temos
. Logo, falha o axioma da unidade.
Resposta
Não. A definição de
faz com que
sempre que
, violando o axioma que exige
.