Lista de Exercícios 1
Exercício 1 Seja
e
. Considere
, com
,
, definamos as operações:
Nestas condições
é um espaço vetorial sobre
? Por quê?
Exercício 1 Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto
com certas operações de adição e multiplicação por escalar forma um espaço vetorial sobre o campo
. Para resolver isso, a gente precisa lembrar quais são os axiomas que definem um espaço vetorial e ver se essas operações os satisfazem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as operações definidas no exercício:
- Adição de vetores:
- Multiplicação por escalar:
Aqui,
e
são vetores em
, e
é um número real.
Passo 3
Agora, vamos relembrar os axiomas de um espaço vetorial. Um conjunto
com duas operações (adição e multiplicação por escalar) é um espaço vetorial se satisfaz os seguintes axiomas:
- Comutatividade da adição:
- Associatividade da adição:
- Elemento neutro da adição: Existe um vetor
tal que - Elemento inverso da adição: Para todo
, existe tal que - Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares:
- Identidade da multiplicação por escalar:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.
Passo 4
1. Comutatividade da adição
Vamos verificar se
.
Como
, temos
. Esse axioma é satisfeito.
Passo 5
2. Associatividade da adição
Vamos verificar se
.
Seja
.
Por outro lado:
Igualdade comprovada. Associatividade é satisfeita.
Passo 6
3. Elemento neutro da adição
Precisamos encontrar um vetor
tal que
.
Vamos supor
.
Para isso,
e
. Mas
pode ser qualquer valor em
, o que significa que não existe um único vetor
que funcione para todos os
. Portanto, o elemento neutro não existe.
Passo 7
4. Elemento inverso da adição
Mesmo já tendo identificado um problema no elemento neutro, vamos verificar o inverso.
Para um vetor
, precisamos de
tal que:
Isso implica que
e
, então
. Contudo, não há condição sobre
, mas independentemente disso, a inexistência de um elemento neutro já invalida o axioma.
Passo 8
5. Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares
Vamos verificar se
.
Igualdade válida. Esse axioma é satisfeito.
Passo 9
6. Identidade da multiplicação por escalar
Vamos verificar se
.
Axioma satisfeito.
Passo 10
7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores
Vamos verificar se
.
Igualdade válida. Axioma satisfeito.
Passo 11
8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Vamos verificar se
.
Para que sejam iguais, devemos ter:
-
(OK) -
Isso só é verdade se
, mas
pode ser qualquer número real. Portanto, esse axioma não é satisfatório para todos os vetores.
Resposta
Não,
com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre
. Isso porque não existe um elemento neutro único para a adição e nem para todo vetor existe um inverso aditivo, violando os axiomas necessários para um espaço vetorial.