Lista de Exercícios 1
Exercício 1 Seja V=R^2 e F=R. Considere alpha in R, u, v in R^2, com u=(x1, y1), v=(x2, y2), definamos as operações:
u+v=(x1+x2, 0) e alpha cdot u=(alpha x1, alpha y1)
Nestas condições V é um espaço vetorial sobre F ? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto V = R^2 com certas operações de adição e multiplicação por escalar forma um espaço vetorial sobre o campo F = R . Para resolver isso, a gente precisa lembrar quais são os axiomas que definem um espaço vetorial e ver se essas operações os satisfazem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as operações definidas no exercício:
  • Adição de vetores: u + v = (x1 + x2, 0)
  • Multiplicação por escalar: alpha cdot u = (alpha x1, alpha y1)
Aqui, u = (x1, y1) e v = (x2, y2) são vetores em R^2 , e alpha é um número real.

Passo 3

Agora, vamos relembrar os axiomas de um espaço vetorial. Um conjunto V com duas operações (adição e multiplicação por escalar) é um espaço vetorial se satisfaz os seguintes axiomas:
  1. Comutatividade da adição: u + v = v + u
  2. Associatividade da adição: u + (v + w) = (u + v) + w
  3. Elemento neutro da adição: Existe um vetor 0 tal que u + 0 = u
  4. Elemento inverso da adição: Para todo u , existe -u tal que u + (-u) = 0
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares: alpha (beta u) = (alpha beta) u
  6. Identidade da multiplicação por escalar: 1 cdot u = u
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: alpha (u + v) = alpha u + alpha v
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: (alpha + beta) u = alpha u + beta u
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.

Passo 4

1. Comutatividade da adição
Vamos verificar se u + v = v + u .
  • u + v = (x1 + x2, 0)
  • v + u = (x2 + x1, 0)
Como x1 + x2 = x2 + x1 , temos u + v = v + u . Esse axioma é satisfeito.

Passo 5

2. Associatividade da adição
Vamos verificar se u + (v + w) = (u + v) + w .
Seja w = (x3, y3) .
  • v + w = (x2 + x3, 0)
  • u + (v + w) = (x1 + (x2 + x3), 0) = (x1 + x2 + x3, 0)
Por outro lado:
  • u + v = (x1 + x2, 0)
  • (u + v) + w = ((x1 + x2) + x3, 0) = (x1 + x2 + x3, 0)
Igualdade comprovada. Associatividade é satisfeita.

Passo 6

3. Elemento neutro da adição
Precisamos encontrar um vetor 0 tal que u + 0 = u .
Vamos supor 0 = (a, b) .
  • u + 0 = (x1 + a, 0) = (x1, y1)
Para isso, a = 0 e y1 = 0 . Mas y1 pode ser qualquer valor em R , o que significa que não existe um único vetor 0 que funcione para todos os u . Portanto, o elemento neutro não existe.

Passo 7

4. Elemento inverso da adição
Mesmo já tendo identificado um problema no elemento neutro, vamos verificar o inverso.
Para um vetor u = (x1, y1) , precisamos de -u = (a, b) tal que:
  • u + (-u) = (x1 + a, 0) = (0, 0)
Isso implica que x1 + a = 0 e 0 = 0 , então a = -x1 . Contudo, não há condição sobre b , mas independentemente disso, a inexistência de um elemento neutro já invalida o axioma.

Passo 8

5. Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares
Vamos verificar se alpha (beta u) = (alpha beta) u .
  • beta u = (beta x1, beta y1)
  • alpha (beta u) = (alpha (beta x1), alpha (beta y1)) = (alpha beta x1, alpha beta y1)
  • (alpha beta) u = ((alpha beta) x1, (alpha beta) y1)
Igualdade válida. Esse axioma é satisfeito.

Passo 9

6. Identidade da multiplicação por escalar
Vamos verificar se 1 cdot u = u .
  • 1 cdot u = (1 cdot x1, 1 cdot y1) = (x1, y1) = u
Axioma satisfeito.

Passo 10

7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores
Vamos verificar se alpha (u + v) = alpha u + alpha v .
  • u + v = (x1 + x2, 0)
  • alpha (u + v) = (alpha (x1 + x2), alpha cdot 0) = (alpha x1 + alpha x2, 0)
  • alpha u + alpha v = (alpha x1, alpha y1) + (alpha x2, alpha y2) = (alpha x1 + alpha x2, 0)
Igualdade válida. Axioma satisfeito.

Passo 11

8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Vamos verificar se (alpha + beta) u = alpha u + beta u .
  • (alpha + beta) u = ((alpha + beta) x1, (alpha + beta) y1)
  • alpha u + beta u = (alpha x1, alpha y1) + (beta x1, beta y1) = (alpha x1 + beta x1, 0)
Para que sejam iguais, devemos ter:
  • (alpha + beta) x1 = alpha x1 + beta x1 (OK)
  • (alpha + beta) y1 = 0
Isso só é verdade se y1 = 0 , mas y1 pode ser qualquer número real. Portanto, esse axioma não é satisfatório para todos os vetores.

Resposta

Não, V = R^2 com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre F = R . Isso porque não existe um elemento neutro único para a adição e nem para todo vetor existe um inverso aditivo, violando os axiomas necessários para um espaço vetorial.

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