Identifique os pontos críticos e determine quando cada um é um ponto de máximo e mínimo locais e pontos de sela ou nenhum desses para a função
.
Passo 1
A função é
. O objetivo é achar os pontos onde o gradiente some zero (pontos críticos) e usar a Hessiana para classificar cada um como máximo, mínimo ou ponto de sela.
Passo 2
Para encontrar o gradiente, calculamos as derivadas parciais usando regra do produto e a derivada de
. O resultado é:
Passo 3
Igualamos
e
. As soluções são
-
, pois tanto quanto anulam as derivadas, -
, pois e .
Passo 4
Para classificar, montamos a Hessiana:
$$f_{xx}=4xy(2x2-3)e{-x2-y2},\quad f_{yy}=4xy(2y2-3)e{-x2-y2},\quad f_{xy}=2(1-2x2)(1-2y2)e{-x2-y^2}.
$$
Passo 5
Avaliando a Hessiana em cada ponto e usando
:
- Em
: leva a → ponto de sela. - Em
com sinais iguais: dá e → máximos locais. - Em
com sinais opostos: dá e → mínimos locais.
Resposta
Pontos críticos e classificações:
• (0,0): ponto de sela.
• (1/√2, 1/√2) e (−1/√2, −1/√2): máximos locais.
• (1/√2, −1/√2) e (−1/√2, 1/√2): mínimos locais.
• (0,0): ponto de sela.
• (1/√2, 1/√2) e (−1/√2, −1/√2): máximos locais.
• (1/√2, −1/√2) e (−1/√2, 1/√2): mínimos locais.