Identifique os pontos críticos e determine quando cada um é um ponto de máximo e mínimo locais e pontos de sela ou nenhum desses para a função f(x, y)=2 x y e^-x^2-y^2.

Passo 1

A função é f(x,y)=2xy,e^-x^2-y^2. O objetivo é achar os pontos onde o gradiente some zero (pontos críticos) e usar a Hessiana para classificar cada um como máximo, mínimo ou ponto de sela.

Passo 2

Para encontrar o gradiente, calculamos as derivadas parciais usando regra do produto e a derivada de e^-r^2. O resultado é:
fx=2y(1-2x^2)e^-x^2-y^2, fy=2x(1-2y^2)e^-x^2-y^2

Passo 3

Igualamos fx=0 e fy=0. As soluções são
  • (x,y)=(0,0), pois tanto y=0 quanto x=0 anulam as derivadas,
  • (x,y)=(pm1/raiz2,pm1/raiz2), pois 1-2x^2=0 e 1-2y^2=0.

Passo 4

Para classificar, montamos a Hessiana:
$$f_{xx}=4xy(2x2-3)e{-x2-y2},\quad f_{yy}=4xy(2y2-3)e{-x2-y2},\quad f_{xy}=2(1-2x2)(1-2y2)e{-x2-y^2}.
$$

Passo 5

Avaliando a Hessiana em cada ponto e usando D=fxxfyy-fxy^2:
  • Em (0,0): fxx=0,fyy=0,fxy=2 leva a D=-4<0 → ponto de sela.
  • Em (pm1/raiz2,pm1/raiz2) com sinais iguais: fxx=fyy=-4e^-1,fxy=0 D>0 e fxx<0 → máximos locais.
  • Em (pm1/raiz2,mp1/raiz2) com sinais opostos: fxx=fyy=4e^-1,fxy=0 D>0 e fxx>0 → mínimos locais.

Resposta

Pontos críticos e classificações:
• (0,0): ponto de sela.
• (1/√2, 1/√2) e (−1/√2, −1/√2): máximos locais.
• (1/√2, −1/√2) e (−1/√2, 1/√2): mínimos locais.

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