Qual dos seguintes pares de soluções forma um conjunto fundamental de soluções desse problema?
Escolha uma opção: y1(t)=e^t e y2(t)=e^-2 t
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial do tipo
y'' - y = 0
com as condições iniciais $ y(1) = 1 $ e $ y’(1) = 0 $. A pergunta é: Qual par de soluções forma um conjunto fundamental de soluções para esse problema? Vamos precisar entender o que é um conjunto fundamental de soluções e verificar se as funções dadas $ y_{1}(t) = e^{t} $ e $ y_{2}(t) = e^{-2t} $ se encaixam nisso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma solução de uma equação diferencial. Uma função $ y(t) $ é solução da equação $ y’’ - y = 0 $ se, ao substituir na equação, ela satisfaz a igualdade.
Passo 3
Vamos verificar se $ y_{1}(t) = e^{t} $ é solução:
y1(t) = e^t
Substituindo na equação:
y1'(t) = e^t y1''(t) = e^t
Então, $ y_{1}(t) = e^{t} $ é uma solução da equação.
Passo 4
Agora, vamos verificar $ y_{2}(t) = e^{-2t} $:
y2(t) = e^-2t
Substituindo na equação:
y2'(t) = -2 e^-2t y2''(t) = 4 e^-2t
Então, $ y_{2}(t) = e^{-2t} $ não é solução da equação.
Passo 5
Como $ y_{2}(t) $ não satisfaz a equação diferencial, o par $ y_{1}(t) $ e $ y_{2}(t) $ não forma um conjunto fundamental de soluções. Para formar um conjunto fundamental, precisamos de duas soluções que satisfaçam a equação e que sejam linearmente independentes.
Passo 6
Na verdade, a solução geral da equação $ y’’ - y = 0 $ é:
y'' - y = 0
Portanto, as funções $ e^{t} $ e $ e^{-t} $ são soluções que formam um conjunto fundamental, já que são linearmente independentes e satisfazem a equação.
Resposta
O par $ y_{1}(t) = e^{t} $ e $ y_{2}(t) = e^{-2t} $ não forma um conjunto fundamental de soluções para o problema dado.