A reta
passa pela interseção das retas
e
e é paralela à reta que passa pelos pontos
e
. A interseção da reta
com o eixo
é o ponto de coordenadas:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar as coordenadas do ponto onde a reta $ t $ intercepta o eixo $ y $. Para isso, precisamos usar conceitos de geometria analítica, como interseção de retas e paralelismo entre retas. Vamos precisar encontrar o ponto de interseção de duas retas, calcular o coeficiente angular de uma reta que passa por dois pontos, e usar a equação da reta para determinar a interseção com o eixo $ y $.
Passo 2
Vamos começar encontrando o ponto de interseção das retas $ 2x - y = -2 $ e $ x + y = 11 $. Para isso, podemos resolver o sistema de equações.
Primeiro, da segunda equação, isolamos $ y $:
Agora, substituímos $ y $ na primeira equação:
Substituindo $ x = 3 $ na equação $ y = 11 - x $:
Portanto, o ponto de interseção das duas retas é $ (3, 8) $.
Passo 3
Agora, sabemos que a reta $ t $ passa por esse ponto $ (3, 8) $ e é paralela à reta que passa pelos pontos $ A(1, 1) $ e $ B(2, -2) $. Para encontrarmos a equação da reta $ t $, precisamos primeiro determinar o coeficiente angular da reta $ AB $.
O coeficiente angular $ m $ de uma reta que passa por dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é dado por:
Aplicando aos pontos $ A(1, 1) $ e $ B(2, -2) $:
Como a reta $ t $ é paralela à reta $ AB $, ela tem o mesmo coeficiente angular, ou seja, $ m = -3 $.
Passo 4
Com o coeficiente angular $ m = -3 $ e sabendo que a reta $ t $ passa pelo ponto $ (3, 8) $, podemos usar a fórmula da equação da reta:
onde $ (x_0, y_0) $ é um ponto da reta.
Substituindo os valores:
Essa é a equação da reta $ t $.
Passo 5
Para encontrar a interseção da reta $ t $ com o eixo $ y $, devemos encontrar o ponto onde $ x = 0 $. Substituindo $ x = 0 $ na equação da reta:
Portanto, o ponto de interseção é $ (0, 17) $.
Resposta
A interseção da reta $ t $ com o eixo $ y $ é no ponto de coordenadas: