certamente possui uma única solução duas vezes diferenciável
Escolha uma opção: 0
Nenhuma das demais alternativas -infty 2 -infty 0
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre equações diferenciais ordinárias (EDOs). A questão nos dá uma EDO de segunda ordem com condições iniciais e pede para identificar em qual intervalo a solução dessa EDO é única e duas vezes diferenciável. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares e as condições de existência e unicidade das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO para facilitar nossa análise:
(t - 2) y'' + y' + (t - 2) tan(t) y = 0
E as condições iniciais são:
y(3) = 1 y'(3) = 2
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para determinar o intervalo onde a solução é única e diferenciável, precisamos identificar onde os coeficientes da equação são contínuos.
Passo 3
Vamos identificar os coeficientes na nossa EDO:
P(t) = (t - 2) Q(t) = 1 R(t) = (t - 2) tan(t)
Para garantir a existência e unicidade da solução, os coeficientes $ P(t) $, $ Q(t) $ e $ R(t) $ devem ser contínuos no intervalo considerado e $ P(t) $ não pode ser zero nesse intervalo.
Passo 4
Vamos analisar a continuidade de cada coeficiente:
$ P(t) = t - 2 $: É um polinômio, então é contínuo para todo $ t $, exceto quando $ t = 2 $ onde $ P(t) = 0 $.
$ Q(t) = 1 $: Constante, sempre contínua.
$ R(t) = (t - 2) \tan(t) $: A tangente, $ \tan(t) $, é contínua onde seu argumento não é $ \frac{\pi}{2} + k\pi $, onde $ k $ é inteiro.
Além disso, $ P(t) $ não pode ser zero, então $ t \neq 2 $.
Passo 5
Agora, vamos verificar onde todos os coeficientes são contínuos juntos e onde $ P(t) \neq 0 $:
O ponto crítico é $ t = 2 $, onde $ P(t) = 0 $.
Também devemos evitar os pontos onde $ \tan(t) $ não é definida, ou seja, $ t = \frac{\pi}{2} + k\pi $.
No nosso caso, considerando $ t = 3 $ como ponto inicial:
$ t = 3 $ está próximo de $ \frac{\pi}{2} $ (aproximadamente 1,57) e $ \frac{3\pi}{2} $ (aproximadamente 4,71).
Entre $ t = 2 $ e $ t = \frac{3\pi}{2} $, $ \tan(t) $ é contínua e $ P(t) \neq 0 $.
Passo 6
Portanto, o intervalo onde todos os coeficientes são contínuos e $ P(t) \neq 0 $ é entre $ t = 2 $ e $ t = \frac{3\pi}{2} $. Nesse intervalo, a condição de existência e unicidade da solução é satisfeita.