Identifique os pontos de máximo, mínimo local e sela, se existirem na função
f(x, y)=(y-x^2)(y-2 x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar os pontos de máximo, mínimo local e pontos de sela, se existirem, na função $ f(x, y) = (y - x^{2})(y - 2x^{2}) $. Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis, mais especificamente na análise de seus pontos críticos. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar onde ambas são iguais a zero (pontos críticos) e depois determinar a natureza desses pontos usando o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando mudamos uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Para $ f(x, y) = (y - x^{2})(y - 2x^{2}) $, vamos calcular $ f_x $ e $ f_y $:
f(x, y)

Passo 3

Calculando $ f_x $:
Primeiro, aplicamos a regra do produto:
fx
Calculando as derivadas:
fx = partialpartial x (y - x^2) cdot (y - 2x^2) + (y - x^2) cdot partialpartial x (y - 2x^2)
partialpartial x (y - x^2) = -2x
Substituindo de volta:
partialpartial x (y - 2x^2) = -4x
Simplificando:
fx = (-2x)(y - 2x^2) + (y - x^2)(-4x) = -2x(y - 2x^2) - 4x(y - x^2)

Passo 4

Calculando $ f_y $:
Como a função é $ f(x, y) = (y - x^{2})(y - 2x^{2}) $, vamos derivar em relação a $ y $:
fy
Calculando as derivadas:
f(x, y) = (y - x^2)(y - 2x^2)
y
Substituindo de volta:
fy = partialpartial y (y - x^2) cdot (y - 2x^2) + (y - x^2) cdot partialpartial y (y - 2x^2)

Passo 5

Agora, encontramos os pontos críticos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
fx = 8x^3 - 6xy = 0 e fy = 2y - 3x^2 = 0
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 6

Da segunda equação $ f_y = 2y - 3x^{2} = 0 $, isolamos $ y $:
fy = 2y - 3x^2 = 0
Agora, substituímos $ y $ na primeira equação:
y
Isso implica que $ x = 0 $.

Passo 7

Substituindo $ x = 0 $ na expressão para $ y $:
x = 0
Portanto, o único ponto crítico é $ (0, 0) $.

Passo 8

Agora, vamos determinar a natureza desse ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
fxx = partial fxpartial x = partialpartial x (8x^3 - 6xy) = 24x^2 - 6y
fyy = partial fypartial y = partialpartial y (2y - 3x^2) = 2
fxy = partial fxpartial y = partialpartial y (8x^3 - 6xy) = -6x
No ponto $ (0, 0) $:
(0, 0)
fxx(0, 0) = 24(0)^2 - 6(0) = 0
fyy(0, 0) = 2

Passo 9

Calculamos o discriminante $ D $ do teste da segunda derivada:
D
Quando $ D = 0 $, o teste é inconclusivo. Isso significa que precisamos analisar a função mais detalhadamente para determinar a natureza do ponto $ (0, 0) $.

Passo 10

Vamos analisar a função $ f(x, y) = (y - x^{2})(y - 2x^{2}) $ próximo ao ponto $ (0, 0) $:
Expandindo a função:
f(x, y) = (y - x^2)(y - 2x^2)
Para diferentes valores de $ x $ e $ y $ próximos de zero:
  • Se $ y = x^{2} $, então $ f(x, y) = (x^{2} - x{2})(x{2} - 2x^{2}) = 0 $
  • Se $ y = 2x^{2} $, então $ f(x, y) = (2x^{2} - x{2})(2x{2} - 2x^{2}) = 0 $
  • Para $ y > 2x^{2} $ ou $ y < x^{2} $, $ f(x, y) > 0 $
  • Para $ x^{2} < y < 2x^{2} $, $ f(x, y) < 0 $
Isso indica que a função muda de sinal ao redor de $ (0, 0) $, caracterizando um ponto de sela.

Resposta

O ponto $ (0, 0) $ é um ponto de sela na função $ f(x, y) = (y - x^{2})(y - 2x^{2}) $.

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