Use o Teorema da Convolução para calcular o valor das transformadas de Laplace dadas.
a) Lt^2 * t e^t;

Passo 1

O exercício pede para calcular Lt^2 * t e^t usando o Teorema da Convolução. Vamos usar que, para funções f e g, vale Lf * g = F(s) cdot G(s), então precisamos das transformadas de t^2 e de t e^t.

Passo 2

Para achar F(s)=Lt^2, usamos a fórmula geral Lt^n = n!s^n+1. No nosso caso, n=2, logo:
F(s) = 2!s^2+1 = 2s^3

Passo 3

Para G(s)=Lt e^t, reconhecemos que é do tipo t e^a t com a=1. A fórmula é Lt e^a t = 1(s - a)^2, válida para s>a. Assim:
G(s) = 1(s-1)^2, s>1

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema da Convolução:
Lt^2 * t e^t = F(s) cdot G(s) = 2s^3 cdot 1(s-1)^2

Passo 5

Portanto, a transformada de Laplace pedida é
2s^3,(s-1)^2, s>1

Resposta

dfrac2s^3,(s-1)^2

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