Seja A uma matriz simétrica, positiva definida, isto é, A^T=A e x^T A x>0, para qualquer x não nulo. Por notação, x é o vetor coluna e x^T seu transposto. Os métodos numéricos do tipo gradiente para resolver sistemas lineares A x=b têm como ideia básica minimizar a função de x=(x1, x2, ldots, xn), dada por:
F(x) & =12 x^T A x-b^T x F(x1, x2, ldots, xn) & =12(lll x1 & cdots & xn )(ccc a11 & cdots & a1 n vdots & ddots & vdots a1 n & cdots & an n )(c x1 vdots xn )-(lll b1 & cdots & bn )(c x1 vdots xn )
Para simplificar, quando abrirmos as equações matriciais, o faremos supondo n=2, embora o desenvolvimento seja o mesmo para um número arbitrário de componentes. Por exemplo, para verificar que F(x) é uma função quadrática nas componentes do vetor x, tomamos n=2 na equação (1):
F(x1, x2)=12(a11 x1^2+2 a12 x1 x2+a22 x2^2)-b1 x1-b2 x2,
onde foi usada a simetria da matriz A. As curvas de nível da função F(x1, x2) são elipses. Assim, o gráfico de F é um parabolóide eliptíco e esta função tem um único mínimo. O mínimo da função é atingido no ponto que anula o gradiente da função, portanto
nabla F(x1, x2)=binompartial Fpartial x1partial Fpartial x2=binoma11 x1+a12 x2-b1a21 x1+a22 x2-b2=A x-b
Sendo assim, nabla F=(0,0) significa A x=b, isto é, a solução do sistema de equações lineares minimiza a função quadrática e vice-versa. Como sabemos, o vetor gradiente aponta a direção de crescimento máximo da função. Portanto, é natural que, nos passos de busca do mínimo, caminhemos na direção contrária ao gradiente, isto é:
x^(k+1)=x^(k)-sk nabla F(x^(k))
Assim, a aproximação num passo k+1 é calculada a partir da aproximação no passo anterior, caminhando na direção contrária ao gradiente. O parâmetro real sk regula o tamanho do passo na k-ésima iteração. Considerando A=(ll4 & 2 2 & 5) e b=binom-61, faça o que se pede:
a) Resolva o sistema A x=b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de métodos numéricos, especificamente usando o método do gradiente para resolver um sistema de equações lineares. A gente vai trabalhar com uma matriz simétrica e positiva definida, e nosso objetivo é encontrar o vetor x que satisfaz a equação A x = b. Para isso, vamos minimizar uma função quadrática associada a esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a matriz A e o vetor b que nos foram dados:
A = 4 & 2 2 & 5 , b = -6 1
Nosso sistema de equações fica assim:
4x1 + 2x2 = -6 2x1 + 5x2 = 1

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o método do gradiente busca minimizar a função quadrática:
F(x) = 12 x^T A x - b^T x
Para encontrar o mínimo dessa função, precisamos calcular o gradiente e igualá-lo a zero. O gradiente é dado por:
nabla F(x) = A x - b
Então, temos que:
A x - b = 0
Ou seja, A x = b, que é exatamente o nosso sistema a resolver.

Passo 4

Para resolver o sistema de equações, podemos usar métodos tradicionais de álgebra linear, como o método da substituição ou da eliminação. Vamos optar pelo método da eliminação aqui.
Temos:
  1. 4x1 + 2x2 = -6 \quad (Equação 1)
  2. 2x1 + 5x2 = 1 \quad (Equação 2)

Passo 5

Vamos multiplicar a Equação 2 por 2 para facilitar a eliminação de uma das variáveis:
2 times (2x1 + 5x2) = 2 times 1 4x1 + 10x2 = 2 (Equação 3) çã
Agora, subtraímos a Equação 1 da Equação 3:
(4x1 + 10x2) - (4x1 + 2x2) = 2 - (-6) 8x2 = 8

Passo 6

Resolvendo para x2:
x2 = 88 = 1
Agora que temos o valor de x2, podemos substituir na Equação 1 para encontrar x1:
4x1 + 2(1) = -6 4x1 + 2 = -6 4x1 = -8 x1 = -2

Resposta

A solução do sistema A x = b é:
x = -2 1

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