Seja uma matriz simétrica, positiva definida, isto é, e , para qualquer não nulo. Por notação, é o vetor coluna e seu transposto. Os métodos numéricos do tipo gradiente para resolver sistemas lineares têm como ideia básica minimizar a função de , dada por:
Para simplificar, quando abrirmos as equações matriciais, o faremos supondo n=2, embora o desenvolvimento seja o mesmo para um número arbitrário de componentes. Por exemplo, para verificar que F(x) é uma função quadrática nas componentes do vetor x, tomamos n=2 na equação (1):
onde foi usada a simetria da matriz A. As curvas de nível da função F(x1, x2) são elipses. Assim, o gráfico de F é um parabolóide eliptíco e esta função tem um único mínimo. O mínimo da função é atingido no ponto que anula o gradiente da função, portanto
Sendo assim, nabla F=(0,0) significa A x=b, isto é, a solução do sistema de equações lineares minimiza a função quadrática e vice-versa. Como sabemos, o vetor gradiente aponta a direção de crescimento máximo da função. Portanto, é natural que, nos passos de busca do mínimo, caminhemos na direção contrária ao gradiente, isto é:
x^(k+1)=x^(k)-sk nabla F(x^(k))
Assim, a aproximação num passo k+1 é calculada a partir da aproximação no passo anterior, caminhando na direção contrária ao gradiente. O parâmetro real sk regula o tamanho do passo na k-ésima iteração. Considerando A=(ll4 & 2 2 & 5) e b=binom-61, faça o que se pede:
a) Resolva o sistema A x=b.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de métodos numéricos, especificamente usando o método do gradiente para resolver um sistema de equações lineares. A gente vai trabalhar com uma matriz simétrica e positiva definida, e nosso objetivo é encontrar o vetor x que satisfaz a equação A x = b. Para isso, vamos minimizar uma função quadrática associada a esse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a matriz A e o vetor b que nos foram dados:
A = 4 & 2 2 & 5 , b = -6 1
Nosso sistema de equações fica assim:
4x1 + 2x2 = -6 2x1 + 5x2 = 1
Passo 3
Agora, vamos lembrar que o método do gradiente busca minimizar a função quadrática:
F(x) = 12 x^T A x - b^T x
Para encontrar o mínimo dessa função, precisamos calcular o gradiente e igualá-lo a zero. O gradiente é dado por:
nabla F(x) = A x - b
Então, temos que:
A x - b = 0
Ou seja, A x = b, que é exatamente o nosso sistema a resolver.
Passo 4
Para resolver o sistema de equações, podemos usar métodos tradicionais de álgebra linear, como o método da substituição ou da eliminação. Vamos optar pelo método da eliminação aqui.
Temos:
4x1 + 2x2 = -6 \quad (Equação 1)
2x1 + 5x2 = 1 \quad (Equação 2)
Passo 5
Vamos multiplicar a Equação 2 por 2 para facilitar a eliminação de uma das variáveis:
2 times (2x1 + 5x2) = 2 times 1 4x1 + 10x2 = 2 (Equação 3) çã
Agora, subtraímos a Equação 1 da Equação 3:
(4x1 + 10x2) - (4x1 + 2x2) = 2 - (-6) 8x2 = 8
Passo 6
Resolvendo para x2:
x2 = 88 = 1
Agora que temos o valor de x2, podemos substituir na Equação 1 para encontrar x1: