Use qualquer método para determinar se a série converge.
sumk=1^infty raizkk^3+1

Passo 1

A série que temos é sumk=1^infty raizkk^3+1. O conteúdo aqui é análise de convergência de séries numéricas, mais precisamente usar um teste de comparação (direto ou por limite) e o conhecimento sobre séries do tipo sum k^-p (séries p).

Passo 2

Para ver com que tipo de série de p podemos comparar, note que, para k grande, k^3+1approx k^3, logo
raizkk^3+1simraizkk^3=k^-5/2

Passo 3

Vamos usar o teste da comparação por limite. Definimos
ak=raizkk^3+1, bk=k^-5/2

Passo 4

Calculamos o limite
L=limktoinftyakbk=limktoinftyraizk/(k^3+1)k^-5/2=limktoinftyraizk,k^5/2k^3+1=limktoinftyk^3k^3+1=1

Passo 5

Como 0, o teste nos diz que sum ak e sum bk têm o mesmo comportamento de convergência. Sabemos que sum bk=sum k^-5/2 é uma série p com p=5/2>1, portanto converge.

Passo 6

Logo, por comparação por limite, a série sumk=1^infty raizkk^3+1 converge.

Resposta

A série converge.

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