Mostrar que
\begin{aligned} & 1+\cot ^{2} t=\csc ^{2} t \\\ & \frac{\sin w+\cos w}{\cos w}=1+\tan w \\\ & \frac{\sin t}{\csc t}+\frac{\cos t}{\operatorname{sec} t}=1 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar (provar) três identidades trigonométricas. As três igualdades que devemos demonstrar são:
1+\cot^{2} t=\csc^{2} t
\frac{\sin w+\cos w}{\cos w}=1+\tan w
\frac{\sin t}{\csc t}+\frac{\cos t}{\operatorname{sec} t}=1
Informações relevantes dadas: as três expressões acima (não há outras hipóteses explícitas). Note que, quando fizermos divisões por \sin ou \cos, implicitamente assumimos que essas funções não sejam zero nos pontos onde dividimos (ou seja, evitamos t ou w tais que \sin=0 ou \cos=0, conforme necessário).

Passo 2

Vamos lembrar definições e uma identidade fundamental que usaremos (é como montar as ferramentas antes de construir a estante):
  • Definições básicas (essas são regras de como cada função trig é escrita em termos de \sin e \cos): \tan x = \frac{\sin x}{\cos x},\qquad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x},\qquad \operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x},\qquad \csc x = \frac{1}{\sin x}.Aqui cada variável x é um ângulo (pode ser t ou w conforme o caso).
  • Identidade pitagórica básica (muito usada): \sin^{2}x+\cos^{2}x=1.Essa identidade vem da relação entre os lados de um triângulo retângulo unitário ou da fórmula geométrica/trigonométrica padrão — é a base para transformar somas de quadrados de seno e cosseno.
Com essas ferramentas, vamos provar as três igualdades passo a passo.

Passo 3

Prova da primeira identidade 1+\cot^{2} t=\csc^{2} t.
  1. Escrevo \cot em termos de \sin e \cos:
\cot^{2}t=\left(\frac{\cos t}{\sin t}\right)^{2}=\frac{\cos^{2}t}{\sin^{2}t}.
  1. Substituo em 1+\cot^{2}t:
1+\cot^{2}t=1+\frac{\cos^{2}t}{\sin^{2}t}.
  1. Para somar 1 com uma fração cujo denominador é \sin^{2}t, coloco o 1 sobre o mesmo denominador (colocar sobre um denominador comum é uma técnica básica de frações): 1=\dfrac{\sin^{2}t}{\sin^{2}t}. Então
1+\frac{\cos^{2}t}{\sin^{2}t}=\frac{\sin^{2}t}{\sin^{2}t}+\frac{\cos^{2}t}{\sin^{2}t}=\frac{\sin^{2}t+\cos^{2}t}{\sin^{2}t}.
  1. Uso a identidade pitagórica \sin^{2}t+\cos^{2}t=1:
\frac{\sin^{2}t+\cos^{2}t}{\sin^{2}t}=\frac{1}{\sin^{2}t}.
  1. Reconheço que \dfrac{1}{\sin^{2}t}=(\dfrac{1}{\sin t})^{2}=\csc^{2}t. Portanto
1+\cot^{2}t=\csc^{2}t,
como queríamos demonstrar.

Passo 4

Comentário didático rápido sobre o que fizemos: a ideia principal foi reescrever \cot como \cos/\sin, juntar termos sobre o mesmo denominador e usar a identidade \sin^{2}+\cos^{2}=1. Isso é um padrão: muitas identidades trigonométricas se resolvem reescrevendo tudo em \sin e \cos e simplificando.

Passo 5

Prova da segunda identidade \dfrac{\sin w+\cos w}{\cos w}=1+\tan w.
  1. Começo manipulando o lado esquerdo fazendo a divisão em dois termos (regra básica: \dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}):
\frac{\sin w+\cos w}{\cos w}=\frac{\sin w}{\cos w}+\frac{\cos w}{\cos w}.
  1. Agora reconheço cada fração pelas definições:
\frac{\sin w}{\cos w}=\tan w,\qquad \frac{\cos w}{\cos w}=1
(na segunda fração estamos dividindo a mesma função por ela, então dá 1, desde que \cos w\neq 0).
  1. Substituindo, obtenho
\frac{\sin w+\cos w}{\cos w}=\tan w + 1,
que é exatamente 1+\tan w. Assim a identidade está provada.

Passo 6

Comentário didático sobre a segunda identidade: foi só usar a propriedade distributiva da divisão sobre soma e as definições. Em prova, é rápido: dividir termo a termo e reconhecer \tan.

Passo 7

Prova da terceira identidade \dfrac{\sin t}{\csc t}+\dfrac{\cos t}{\operatorname{sec} t}=1.
  1. Reescrevo \csc e \operatorname{sec} pelas definições:
\csc t=\frac{1}{\sin t},\qquad \operatorname{sec} t=\frac{1}{\cos t}.
  1. Substituo essas definições nas frações:
\frac{\sin t}{\csc t}=\sin t\cdot \frac{1}{\csc t^{-1}}\quad\text{(mas é mais direto fazer)}\quad \frac{\sin t}{\csc t}=\sin t\cdot\left(\frac{1}{\csc t}\right).é
Melhor reorganizar: como \csc t=\dfrac{1}{\sin t}, temos
\frac{\sin t}{\csc t}=\frac{\sin t}{\dfrac{1}{\sin t}}=\sin t\cdot \sin t=\sin^{2}t.
  1. De modo análogo, como \operatorname{sec} t=\dfrac{1}{\cos t}, então
\frac{\cos t}{\operatorname{sec} t}=\frac{\cos t}{\dfrac{1}{\cos t}}=\cos t\cdot \cos t=\cos^{2}t.
  1. Somo os dois resultados:
\frac{\sin t}{\csc t}+\frac{\cos t}{\operatorname{sec} t}=\sin^{2}t+\cos^{2}t.
  1. Uso novamente a identidade pitagórica \sin^{2}t+\cos^{2}t=1. Assim
\frac{\sin t}{\csc t}+\frac{\cos t}{\operatorname{sec} t}=1,
o que conclui a prova.

Passo 8

Comentário final e motivacional: você já viu um padrão útil — reescrever funções em \sin e \cos, colocar no mesmo denominador quando necessário, e usar a identidade \sin^{2}+\cos^{2}=1. Com essas três regras você resolve a grande maioria das identidades trigonométricas básicas. Tá indo bem — pratica mais algumas e isso vira automático!

Resposta

1+\cot^{2} t=\csc^{2} t
\frac{\sin w+\cos w}{\cos w}=1+\tan w
\frac{\sin t}{\csc t}+\frac{\cos t}{\operatorname{sec} t}=1

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