Mostrar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar (provar) três identidades trigonométricas. As três igualdades que devemos demonstrar são:
Informações relevantes dadas: as três expressões acima (não há outras hipóteses explícitas). Note que, quando fizermos divisões por
ou
, implicitamente assumimos que essas funções não sejam zero nos pontos onde dividimos (ou seja, evitamos
ou
tais que
ou
, conforme necessário).
Passo 2
Vamos lembrar definições e uma identidade fundamental que usaremos (é como montar as ferramentas antes de construir a estante):
- Definições básicas (essas são regras de como cada função trig é escrita em termos de
e ): Aqui cada variável é um ângulo (pode ser ou conforme o caso). - Identidade pitagórica básica (muito usada):
Essa identidade vem da relação entre os lados de um triângulo retângulo unitário ou da fórmula geométrica/trigonométrica padrão — é a base para transformar somas de quadrados de seno e cosseno.
Com essas ferramentas, vamos provar as três igualdades passo a passo.
Passo 3
Prova da primeira identidade
.
- Escrevo
em termos de e :
- Substituo em
:
- Para somar
com uma fração cujo denominador é , coloco o sobre o mesmo denominador (colocar sobre um denominador comum é uma técnica básica de frações): . Então
- Uso a identidade pitagórica
:
- Reconheço que
. Portanto
como queríamos demonstrar.
Passo 4
Comentário didático rápido sobre o que fizemos: a ideia principal foi reescrever
como
, juntar termos sobre o mesmo denominador e usar a identidade
. Isso é um padrão: muitas identidades trigonométricas se resolvem reescrevendo tudo em
e
e simplificando.
Passo 5
Prova da segunda identidade
.
- Começo manipulando o lado esquerdo fazendo a divisão em dois termos (regra básica:
):
- Agora reconheço cada fração pelas definições:
(na segunda fração estamos dividindo a mesma função por ela, então dá
, desde que
).
- Substituindo, obtenho
que é exatamente
. Assim a identidade está provada.
Passo 6
Comentário didático sobre a segunda identidade: foi só usar a propriedade distributiva da divisão sobre soma e as definições. Em prova, é rápido: dividir termo a termo e reconhecer
.
Passo 7
Prova da terceira identidade
.
- Reescrevo
e pelas definições:
- Substituo essas definições nas frações:
Melhor reorganizar: como
, temos
- De modo análogo, como
, então
- Somo os dois resultados:
- Uso novamente a identidade pitagórica
. Assim
o que conclui a prova.
Passo 8
Comentário final e motivacional: você já viu um padrão útil — reescrever funções em
e
, colocar no mesmo denominador quando necessário, e usar a identidade
. Com essas três regras você resolve a grande maioria das identidades trigonométricas básicas. Tá indo bem — pratica mais algumas e isso vira automático!