Identifique a quádrica, esboce as curvas de nível e a quádrica.
-4 x^2+8 x+y^2-4 y-4 z=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar o tipo de superfície dada por -4x^2+8x+y^2-4y-4z=0, traçar suas curvas de nível (interseções com planos z=k) e esboçar o formato geral da superfície. Vamos usar completamento de quadrados e classificação de quádricas.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x e em y:
-4x^2+8x=-4l(x^2-2xr)=-4l((x-1)^2-1r)=-4(x-1)^2+4
y^2-4y=(y-2)^2-4

Passo 3

Substituindo na equação original e simplificando, temos:
-4(x-1)^2+4+(y-2)^2-4-4z=0
ou seja
-4(x-1)^2+(y-2)^2-4z=0
Isolando z:
4z=(y-2)^2-4(x-1)^2
z=(y-2)^24-(x-1)^2

Passo 4

Como há um termo quadrático positivo em y e negativo em x, esta superfície é um paraboloide hiperbólico (sela).

Passo 5

Para as curvas de nível, fixamos z=k e obtemos
(y-2)^24-(x-1)^2=k
Esta é a equação geral de hipérbole (ou duas retas quando k=0).

Passo 6

Classificamos as curvas de nível:
  • Para k>0: hipérboles com eixo principal paralelo ao eixo y.
  • Para k=0: par de retas dadas por y-2=pm2(x-1).
  • Para k<0: hipérboles com eixo principal paralelo ao eixo x.
    No esboço, as seções por planos x=cte são parábolas voltadas para cima/baixo e por y=cte são parábolas voltadas para cima/baixo no sentido oposto, revelando a forma de sela.

Resposta

A superfície é um paraboloide hiperbólico cuja equação reescrita é z=(y-2)^24-(x-1)^2. Suas curvas de nível são dadas por
(y-2)^24-(x-1)^2=k,
que são hipérboles para kneq0 e um par de retas para k=0.

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