Identifique a quádrica, esboce as curvas de nível e a quádrica.
Passo 1
O enunciado pede para identificar o tipo de superfície dada por
, traçar suas curvas de nível (interseções com planos
) e esboçar o formato geral da superfície. Vamos usar completamento de quadrados e classificação de quádricas.
Passo 2
Começamos completando o quadrado em
e em
:
Passo 3
Substituindo na equação original e simplificando, temos:
ou seja
Isolando
:
Passo 4
Como há um termo quadrático positivo em
e negativo em
, esta superfície é um paraboloide hiperbólico (sela).
Passo 5
Para as curvas de nível, fixamos
e obtemos
Esta é a equação geral de hipérbole (ou duas retas quando
).
Passo 6
Classificamos as curvas de nível:
- Para
: hipérboles com eixo principal paralelo ao eixo . - Para
: par de retas dadas por . - Para
: hipérboles com eixo principal paralelo ao eixo .
No esboço, as seções por planossão parábolas voltadas para cima/baixo e por são parábolas voltadas para cima/baixo no sentido oposto, revelando a forma de sela.
Resposta
A superfície é um paraboloide hiperbólico cuja equação reescrita é
. Suas curvas de nível são dadas por
que são hipérboles para