Identifique as quádricas representadas pelas equações
Passo 1
O enunciado dá a equação
O que é pedido: identificar a quádricas representada por essa equação e descrever suas características importantes (vértice, direção de abertura, seções características, etc.). Informações dadas que usaremos: os coeficientes das parcelas em
e
são
e
, respectivamente; não há termos mistos
, nem termos lineares em
,
ou
.
Passo 2
Reescrevemos a equação isolando
para ver a forma mais clara:
Isto mostra que
é uma soma de quadrados multiplicada por constantes positivas. Sempre que tivermos uma equação do tipo
com
e
ambos positivos (aqui
,
), a superfície é um “paraboloide” cujo termo quadrático depende de
e
. Vou explicar por que isso caracteriza uma parábola na direção dos cortes e elipses nos níveis mais abaixo.
Passo 3
Entendendo as curvas de nível (traces) horizontais: fixe uma constante
. Então
Se
essa é a equação de uma elipse no plano
. Para ver os semi-eixos da elipse, divida por
:
Logo os semi-eixos são
na direção
e
na direção
. Isso mostra que, à medida que
aumenta, as elipses crescem — a superfície “abre” conforme
aumenta.
Passo 4
Identificando o vértice: coloque
. A equação fica
Somatório de dois termos não negativos só pode ser zero se
e
. Portanto o único ponto com
é
. Esse é o vértice da superfície. Assim temos vértice em
.
Passo 5
Direção de simetria / eixo: a fórmula depende apenas de
e
, ou seja, é invariante por
e
. Os centros das elipses de nível estão em
para cada
. Logo a superfície é simétrica em torno do eixo
; o eixo de revolução (ou melhor, o eixo de simetria) é o eixo
. A superfície abre no sentido de
crescente porque para
e
fixos,
cresce com o quadrado.
Passo 6
Analisando cortes verticais (planos contendo o eixo
): pegue um plano
. A equação reduz para
que é uma parábola no plano
(aberta para cima em
). De modo análogo, em
obtemos
outra parábola. Isso confirma que seções por planos que contêm o eixo
são parábolas — característica de um paraboloide.
Passo 7
Resumo das propriedades que nos permitem nomear a quádricas:
- termo quadrático apenas em
e com coeficientes positivos; - curvas de nível
const são elipses para constantes positivas; - cortes por planos que contêm
são parábolas; - vértice em
e eixo de simetria é o eixo .
Tudo isso identifica a superfície como um paraboloide elíptico (também chamado de paraboloide elíptico circular quando; aqui , então é elíptico não circular).
Passo 8
Uma parametrização simples que ajuda a visualizar é usar coordenadas polares elípticas: para
e
,
Verifique substituindo na equação:
Isso mostra claramente que níveis de
correspondem a elipses de semi-eixos
e
, com altura
.
Passo 9
Contraexemplo para não confundir: se um coeficiente tivesse sinal oposto (por exemplo
), então teríamos um paraboloide hiperbólico (forma de sela). Aqui, como ambos os coeficientes são positivos, não é isso — é paraboloide elíptico.
Resposta
Paraboloide elíptico com vértice em
, abrindo no sentido positivo do eixo
; curvas de nível
são elipses de semi-eixos
(direção
) e
(direção
).