Identifique as quádricas representadas pelas equações
\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=z

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=z
O que é pedido: identificar a quádricas representada por essa equação e descrever suas características importantes (vértice, direção de abertura, seções características, etc.). Informações dadas que usaremos: os coeficientes das parcelas em x^{2} e y^{2} são \tfrac{1}{25} e \tfrac{1}{16}, respectivamente; não há termos mistos xy, nem termos lineares em x, y ou z.

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando z para ver a forma mais clara:
z=\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}.
Isto mostra que z é uma soma de quadrados multiplicada por constantes positivas. Sempre que tivermos uma equação do tipo
z = A x^{2} + B y^{2}
com A e B ambos positivos (aqui A=\tfrac{1}{25}, B=\tfrac{1}{16}), a superfície é um “paraboloide” cujo termo quadrático depende de x^{2} e y^{2}. Vou explicar por que isso caracteriza uma parábola na direção dos cortes e elipses nos níveis mais abaixo.

Passo 3

Entendendo as curvas de nível (traces) horizontais: fixe uma constante z=c\ge 0. Então
\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=c.
Se c>0 essa é a equação de uma elipse no plano z=c. Para ver os semi-eixos da elipse, divida por c:
\frac{x^{2}}{25c}+\frac{y^{2}}{16c}=1.
Logo os semi-eixos são a=5\sqrt{c} na direção x e b=4\sqrt{c} na direção y. Isso mostra que, à medida que z aumenta, as elipses crescem — a superfície “abre” conforme z aumenta.

Passo 4

Identificando o vértice: coloque z=0. A equação fica
\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=0.
Somatório de dois termos não negativos só pode ser zero se x=0 e y=0. Portanto o único ponto com z=0 é (0,0,0). Esse é o vértice da superfície. Assim temos vértice em (0,0,0).

Passo 5

Direção de simetria / eixo: a fórmula depende apenas de x^{2} e y^{2}, ou seja, é invariante por x\mapsto -x e y\mapsto -y. Os centros das elipses de nível estão em (0,0,z) para cada z. Logo a superfície é simétrica em torno do eixo z; o eixo de revolução (ou melhor, o eixo de simetria) é o eixo z. A superfície abre no sentido de z crescente porque para x e y fixos, z cresce com o quadrado.

Passo 6

Analisando cortes verticais (planos contendo o eixo z): pegue um plano y=0. A equação reduz para
z=\frac{x^{2}}{25},
que é uma parábola no plano y=0 (aberta para cima em z). De modo análogo, em x=0 obtemos
z=\frac{y^{2}}{16},
outra parábola. Isso confirma que seções por planos que contêm o eixo z são parábolas — característica de um paraboloide.

Passo 7

Resumo das propriedades que nos permitem nomear a quádricas:
  • termo quadrático apenas em x^{2} e y^{2} com coeficientes positivos;
  • curvas de nível z=const são elipses para constantes positivas;
  • cortes por planos que contêm z são parábolas;
  • vértice em (0,0,0) e eixo de simetria é o eixo z.
    Tudo isso identifica a superfície como um paraboloide elíptico (também chamado de paraboloide elíptico circular quando A=B; aqui A\neq B, então é elíptico não circular).

Passo 8

Uma parametrização simples que ajuda a visualizar é usar coordenadas polares elípticas: para r\ge0 e \theta\in[0,2\pi),
x=5r\cos\theta,\qquad y=4r\sin\theta,\qquad z=r^{2}.
Verifique substituindo na equação:
\frac{(5r\cos\theta)^{2}}{25}+\frac{(4r\sin\theta)^{2}}{16}=r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta=r^{2}=z.
Isso mostra claramente que níveis de r correspondem a elipses de semi-eixos 5r e 4r, com altura z=r^{2}.

Passo 9

Contraexemplo para não confundir: se um coeficiente tivesse sinal oposto (por exemplo z=\tfrac{x^{2}}{25}-\tfrac{y^{2}}{16}), então teríamos um paraboloide hiperbólico (forma de sela). Aqui, como ambos os coeficientes são positivos, não é isso — é paraboloide elíptico.

Resposta

Paraboloide elíptico com vértice em (0,0,0), abrindo no sentido positivo do eixo z; curvas de nível z=c>0 são elipses de semi-eixos 5\sqrt{c} (direção x) e 4\sqrt{c} (direção y).

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