Identifique as quádricas representadas pelas equações
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede que a gente identifique a quádrica correspondente. Informações relevantes fornecidas:
- Há só termos quadráticos em
, e ; não há termos lineares nem termos mistos ( , , ). - Todos os coeficientes dos termos quadráticos são iguais a
. - O lado direito é o número
.
Passo 2
O que significa “identificar a quádrica”? Significa reconhecer a superfície geométrica descrita por essa equação (por exemplo: plano, cone, cilindro, elipsóide, esfera, hiperbolóide etc.). Uma forma padrão muito útil para superfícies centradas em um ponto
é a equação da esfera:
onde
é o centro e
é o raio. Aqui vou explicar como usar essa comparação de forma direta.
Passo 3
Compare a equação dada com a forma da esfera. A equação é
Podemos reescrever explicitamente como
ou seja, é da forma da esfera com
,
,
e
.
Passo 4
Conclusões imediatas do passo anterior:
- O centro é
porque os termos são . - O raio é
porque .
Passo 5
Uma verificação alternativa (útil em provas): pensar em termos da forma quadrática associada. A equação pode ser escrita em forma matricial como
onde
e
é a matriz identidade
. Todos os autovalores de
são positivos e iguais a
, logo a superfície é um elipsóide positivo-definido — e, como os autovalores são todos iguais, esse elipsóide é exatamente uma esfera. Essa é uma forma mais “algebraica” de ver o mesmo resultado.
Passo 6
Dicas práticas para a prova (resumindo como identificar rápido):
- Se há termos lineares (
), complete quadrados para achar o centro deslocado. - Se há termos mistos (
, , ), faça uma mudança ortogonal (diagonalização) — no cálculo rápido, reconhecer simetrias e sinais dos coeficientes ajuda a classificar. - Termos com sinais mistos (+ e -) indicam hiperbolóides ou cones; todos positivos indicam elipsóides (esfera se todos iguais).