Identifique as quádricas representadas pelas equações
x^{2}+y^{2}+z^{2}=3

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}=3
e pede que a gente identifique a quádrica correspondente. Informações relevantes fornecidas:
  • Há só termos quadráticos em x, y e z; não há termos lineares nem termos mistos ( xy, xz, yz).
  • Todos os coeficientes dos termos quadráticos são iguais a 1.
  • O lado direito é o número 3.

Passo 2

O que significa “identificar a quádrica”? Significa reconhecer a superfície geométrica descrita por essa equação (por exemplo: plano, cone, cilindro, elipsóide, esfera, hiperbolóide etc.). Uma forma padrão muito útil para superfícies centradas em um ponto (a,b,c) é a equação da esfera:
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2},
onde (a,b,c) é o centro e R é o raio. Aqui vou explicar como usar essa comparação de forma direta.

Passo 3

Compare a equação dada com a forma da esfera. A equação é
x^{2}+y^{2}+z^{2}=3.
Podemos reescrever explicitamente como
(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-0)^{2}=3,
ou seja, é da forma da esfera com a=0, b=0, c=0 e R^{2}=3.

Passo 4

Conclusões imediatas do passo anterior:
  • O centro é (0,0,0) porque os termos são (x-0)^{2},(y-0)^{2},(z-0)^{2}.
  • O raio é R=\sqrt{3} porque R^{2}=3.

Passo 5

Uma verificação alternativa (útil em provas): pensar em termos da forma quadrática associada. A equação pode ser escrita em forma matricial como
\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=3,
onde \mathbf{x}=(x,y,z)^{T} e A é a matriz identidade I_{3}. Todos os autovalores de A são positivos e iguais a 1, logo a superfície é um elipsóide positivo-definido — e, como os autovalores são todos iguais, esse elipsóide é exatamente uma esfera. Essa é uma forma mais “algebraica” de ver o mesmo resultado.

Passo 6

Dicas práticas para a prova (resumindo como identificar rápido):
  • Se há termos lineares ( x,y,z), complete quadrados para achar o centro deslocado.
  • Se há termos mistos ( xy, xz, yz), faça uma mudança ortogonal (diagonalização) — no cálculo rápido, reconhecer simetrias e sinais dos coeficientes ajuda a classificar.
  • Termos com sinais mistos (+ e -) indicam hiperbolóides ou cones; todos positivos indicam elipsóides (esfera se todos iguais).

Resposta

\text{Esfera com centro }(0,0,0)\text{ e raio }\sqrt{3}

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