Identifique as quádricas representadas pelas equações
\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{6}-\frac{z^{2}}{1}=1

Passo 1

O enunciado pede: identificar a quadric surface dada pela equação
\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{6}-\frac{z^{2}}{1}=1.
Informações dadas que vamos usar: a equação está em forma quadrática diagonal (só aparecem termos x^{2}, y^{2}, z^{2}, sem termos mistos ou lineares) e os coeficientes das parcelas são +\frac{1}{5} para x^{2}, -\frac{1}{6} para y^{2} e -1 para z^{2}.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): para classificar uma quádricas na forma diagonal
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,
ou com sinais mistas como
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,
o que conta é o número de coeficientes positivos e negativos (a chamada assinatura). Regras úteis (memorização prática):
  • Se todos os três coeficientes forem positivos → elipsoide.
  • Se há dois positivos e um negativo → hiperbolóide de uma folha.
  • Se há um positivo e dois negativos → hiperbolóide de duas folhas.
    Além disso, a variável com o sinal diferente (no caso o sinal positivo isolado) indica o eixo ao longo do qual as “folhas” estão separadas.

Passo 3

Comparemos a equação dada com a forma padrão. A equação é
\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{6}-\frac{z^{2}}{1}=1.
Aqui há exatamente um coeficiente positivo (o de x^{2}) e dois coeficientes negativos (os de y^{2} e z^{2}). Pela regra do passo anterior, isso corresponde a um hiperbolóide de duas folhas.

Passo 4

Identificando o eixo e os vértices: como o termo positivo é o de x^{2}, o eixo do hiperbolóide de duas folhas é o eixo x. Para ver onde estão as folhas, isolamos x^{2}:
\frac{x^{2}}{5}=1+\frac{y^{2}}{6}+z^{2},
ou equivalentemente
x^{2}=5\Bigl(1+\frac{y^{2}}{6}+z^{2}\Bigr).
Da expressão acima segue que o membro da direita é sempre \ge 5 (porque y^{2} e z^{2} são \ge 0), então x^{2}\ge 5 e, portanto, |x|\ge\sqrt{5}. Isso mostra que não há pontos com |x|<\sqrt{5}: são duas folhas separadas, uma com x\ge\sqrt{5} e outra com x\le -\sqrt{5}. Os pontos mais “próximos” da origem na superfície (vértices) ocorrem quando y=z=0, dando os vértices
(\sqrt{5},0,0)\quad\text{e}\quad(-\sqrt{5},0,0).

Passo 5

Analisando seções (traces) para entender a forma:
  • Corte por plano x=x_{0}. Para um x_{0} fixo obtemos
-\frac{y^{2}}{6}-\frac{z^{2}}{1}=1-\frac{x_{0}^{2}}{5},
que se rearranja para
\frac{y^{2}}{6}+z^{2}=\frac{x_{0}^{2}}{5}-1.
Se |x_{0}|>\sqrt{5} então o lado direito é positivo e a seção é uma elipse (conjunto fechado). Se |x_{0}|=\sqrt{5} a seção degenera num ponto (\pm\sqrt{5},0,0). Se |x_{0}|<\sqrt{5} não há interseção real. Isso é exatamente o comportamento de um hiperbolóide de duas folhas.
  • Cortes por planos y=0 ou z=0 mostram hipérboles nas respetivas direções, consistente com a forma geral.

Passo 6

Resumo didático e mental para a prova (como reconhecer rápido): veja os sinais dos termos quadráticos numa forma já diagonalizada. Um positivo e dois negativos → hiperbolóide de duas folhas; a variável com sinal positivo indica o eixo das folhas e os vértices ficam em \pm a no eixo correspondente, onde a^{2} é o denominador do termo positivo (aqui a^{2}=5, então vértices em \pm\sqrt{5} sobre o eixo x). Se precisar, calcule seções por x= constante para mostrar elipses ou a falta de pontos quando |x| é pequeno.

Resposta

Hiperbolóide de duas folhas com eixo ao longo do eixo x; vértices em (\pm\sqrt{5},0,0).

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