Identifique as quádricas representadas pelas equações
Passo 1
O enunciado pede: identificar a quadric surface dada pela equação
Informações dadas que vamos usar: a equação está em forma quadrática diagonal (só aparecem termos
,
,
, sem termos mistos ou lineares) e os coeficientes das parcelas são
para
,
para
e
para
.
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): para classificar uma quádricas na forma diagonal
ou com sinais mistas como
o que conta é o número de coeficientes positivos e negativos (a chamada assinatura). Regras úteis (memorização prática):
- Se todos os três coeficientes forem positivos → elipsoide.
- Se há dois positivos e um negativo → hiperbolóide de uma folha.
- Se há um positivo e dois negativos → hiperbolóide de duas folhas.
Além disso, a variável com o sinal diferente (no caso o sinal positivo isolado) indica o eixo ao longo do qual as “folhas” estão separadas.
Passo 3
Comparemos a equação dada com a forma padrão. A equação é
Aqui há exatamente um coeficiente positivo (o de
) e dois coeficientes negativos (os de
e
). Pela regra do passo anterior, isso corresponde a um hiperbolóide de duas folhas.
Passo 4
Identificando o eixo e os vértices: como o termo positivo é o de
, o eixo do hiperbolóide de duas folhas é o eixo
. Para ver onde estão as folhas, isolamos
:
ou equivalentemente
Da expressão acima segue que o membro da direita é sempre
(porque
e
são
), então
e, portanto,
. Isso mostra que não há pontos com
: são duas folhas separadas, uma com
e outra com
. Os pontos mais “próximos” da origem na superfície (vértices) ocorrem quando
, dando os vértices
Passo 5
Analisando seções (traces) para entender a forma:
- Corte por plano
. Para um fixo obtemos
que se rearranja para
Se
então o lado direito é positivo e a seção é uma elipse (conjunto fechado). Se
a seção degenera num ponto
. Se
não há interseção real. Isso é exatamente o comportamento de um hiperbolóide de duas folhas.
- Cortes por planos
ou mostram hipérboles nas respetivas direções, consistente com a forma geral.
Passo 6
Resumo didático e mental para a prova (como reconhecer rápido): veja os sinais dos termos quadráticos numa forma já diagonalizada. Um positivo e dois negativos → hiperbolóide de duas folhas; a variável com sinal positivo indica o eixo das folhas e os vértices ficam em
no eixo correspondente, onde
é o denominador do termo positivo (aqui
, então vértices em
sobre o eixo
). Se precisar, calcule seções por
constante para mostrar elipses ou a falta de pontos quando
é pequeno.
Resposta
Hiperbolóide de duas folhas com eixo ao longo do eixo
; vértices em
.