Identifique, raciocinando por absurdo, se as seguintes fórmulas são válidas ou inválidas:
PS.: as fórmulas inválidas devem ser associadas a uma estrutura que as falsifique.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é válida, isto é, se vale em toda interpretação de primeiro-ordem. Para mostrar que ela é inválida, vamos raciocinar por absurdo: assumimos que ela valeria sempre e, em seguida, exibimos uma estrutura onde ela falha.
Passo 2
Observe que a fórmula é uma disjunção de dois componentes:
-
-
Para que a disjunção seja falsa em alguma estrutura, ambos os componentes devem ser falsos nessa estrutura.
Passo 3
Escrevendo as condições de falsidade:
-
é falsa se, e somente se, existe algum tal que seja verdadeiro. -
é falsa se, na interpretação, o par não pertence a .
Passo 4
Definimos a seguinte estrutura
:
Nesta estrutura:
- Existe
tal que é verdadeiro, logo é falso. - Porém
é falso, pois .
Consequentemente a disjunção
é falsa em
.
Resposta
A fórmula é inválida. Um contra-modelo é