Identifique e represente geometricamente a fronteira dos seguintes conjuntos:
Passo 1
O enunciado define o conjunto
que é a região estritamente acima da parábola . O conteúdo é geometria analítica e topologia elementar (fronteira de um conjunto em ). Para identificar a fronteira, vamos usar a definição de fronteira em termos de fechamento e interior.
Passo 2
Lembramos que a fronteira de , denotada por , é
onde B é o fechamento de B e R^2setminus B é o seu complemento.
Passo 3
Como B é dado por uma desigualdade estrita y > x^2 - 4x + 3, seu fechamento é
B = (x,y)mid y >= x^2 - 4x + 3
O complemento R^2setminus B é (x,y)mid y <= x^2 - 4x + 3, cujo fechamento coincide com ele mesmo:
R^2setminus B = (x,y)mid y <= x^2 - 4x + 3
Passo 4
Intersecionando os dois fechamentos, obtemos
partial B = (x,y)mid y >= x^2 - 4x + 3 ,cap, (x,y)mid y <= x^2 - 4x + 3 = (x,y)mid y = x^2 - 4x + 3
Passo 5
Geometricamente, partial B é a própria parábola
y = x^2 - 4x + 3,
que tem vértice em l(2,-1r) (pois o mínimo de x^2-4x+3 ocorre em x=2) e abre para cima.