Identifique e represente geometricamente a fronteira dos seguintes conjuntos:
B=(x, y) in R^2: y>x^2-4 x+3

Passo 1

O enunciado define o conjunto
B = (x,y)inR^2 mid y > x^2 - 4x + 3,
que é a região estritamente acima da parábola y = x^2 - 4x + 3. O conteúdo é geometria analítica e topologia elementar (fronteira de um conjunto em R^2). Para identificar a fronteira, vamos usar a definição de fronteira em termos de fechamento e interior.

Passo 2

Lembramos que a fronteira de B, denotada por partial B, é
partial B = B ,cap, R^2setminus B,
onde B é o fechamento de B e R^2setminus B é o seu complemento.

Passo 3

Como B é dado por uma desigualdade estrita y > x^2 - 4x + 3, seu fechamento é
B = (x,y)mid y >= x^2 - 4x + 3
O complemento R^2setminus B é (x,y)mid y <= x^2 - 4x + 3, cujo fechamento coincide com ele mesmo:
R^2setminus B = (x,y)mid y <= x^2 - 4x + 3

Passo 4

Intersecionando os dois fechamentos, obtemos
partial B = (x,y)mid y >= x^2 - 4x + 3 ,cap, (x,y)mid y <= x^2 - 4x + 3 = (x,y)mid y = x^2 - 4x + 3

Passo 5

Geometricamente, partial B é a própria parábola
y = x^2 - 4x + 3,
que tem vértice em l(2,-1r) (pois o mínimo de x^2-4x+3 ocorre em x=2) e abre para cima.

Resposta

partial B = (x,y)inR^2 mid y = x^2 - 4x + 3,
ou seja, a parábola de equação y = x^2 - 4x + 3.

Exercícios relacionados