Identifique e resolva as equações diferenciais. SEM USAR TRANSFORMADA DE LAPLACE (Valor=2,0 cada)
t^3 y' - 2 t^2 y = t^6 sen(2 t) - t^5 + 4 t^6 ; y(pi) = 3/2 pi^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar e resolver uma equação diferencial da forma:
com a condição inicial . A matéria que vamos usar é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar um fator integrante que nos ajude a simplificar a equação e então resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para a forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
Dividindo todos os termos por , temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante que é dado por:
Calculando a integral de :
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

A equação agora está na forma exata, e o lado esquerdo pode ser escrito como a derivada do produto :

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a :
Calculando a integral term por term:
  1. :
    Usamos a integração por partes.
    Seja ,
    Então, ,
    Aplicando:
Então, juntando tudo:

Passo 7

Resolvemos para :
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Substituindo :
Sabendo que e :
Simplificando:
Resolvendo para :
Então:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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