Identifique e resolva as equações diferenciais. SEM USAR TRANSFORMADA DE LAPLACE (Valor=2,0 cada)
3 y''' - 6 y'' + 3 y' = 30 e^(2 x)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que temos aqui: precisamos resolver a equação diferencial de terceira ordem com coeficientes constantes:
Esse tipo de equação faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na equação homogênea associada, que é obtida zerando o lado direito da equação original:

Passo 3

Para resolver essa equação homogênea, usamos a equação característica. Substituímos por , onde é uma constante que vamos determinar:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação característica:
Isso nos dá as raízes:
  • (com multiplicidade 2, ou seja, aparece duas vezes)

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde , e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como o lado direito da equação é , assumimos uma solução do tipo:
Onde é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 7

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 8

Substituímos e suas derivadas na equação original:
Simplificando:

Passo 9

Resolvendo para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular encontrada:
Onde , e são constantes que podem ser determinadas se houver condições iniciais específicas.

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