1. Identifique e resolva a parte homogenea da EDO: y^prime prime-2 y^prime+y=e^wed>= x

Passo 1

O enunciado pede para identificar e resolver a parte homogênea da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + y = e^wed>= x
O que precisamos aqui é desprezar o termo não homogêneo (o lado direito) e resolver
yh'' - 2yh' + yh = 0
usando o método da equação característica.

Passo 2

Escrevemos a parte homogênea e montamos sua equação característica:
yh'' - 2yh' + yh = 0 Longrightarrow r^2 - 2r + 1 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação característica
r^2 - 2r + 1 = (r-1)^2 = 0
vemos que há uma raiz dupla r=1.

Passo 4

Quando a raiz r=1 é dupla, a solução geral homogênea combina e^r x e x,e^r x. Portanto
yh(x) = l(C1 + C2,xr),e^x,
onde C1 e C2 são constantes de integração.

Resposta

yh(x) = l(C1 + C2,xr),e^x

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