Identifique as seguintes superfície e curva dadas em coordenadas cilíndricas:
(b) \left\{\begin{array}{l}\rho=1 \\\ \theta \in[0,2 \pi] \\\ z=\theta\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um conjunto em coordenadas cilíndricas definido por
\rho=1, \theta\in[0,2\pi] e z=\theta.
O objetivo é reconhecer qual é a superfície ou curva descrita por essas equações.

Passo 2

A condição \rho=1 por si só descreve um cilindro circular de raio 1 em torno do eixo z. Em coordenadas cilíndricas, \rho mede a distância ao eixo z, então
\rho=1
é o cilindro de raio 1, extensão infinita em z.

Passo 3

Porém, aqui também temos a relação z=\theta com \theta variando de 0 a 2\pi. Isso fixa cada ponto sobre o cilindro de raio 1 a uma altura que cresce linearmente com o ângulo. Logo, em vez de toda a superfície cilíndrica, estamos selecionando apenas uma curva que “sobe” ao redor do cilindro.

Passo 4

Para ver isso em coordenadas cartesianas, usamos
x=\rho\cos\theta= \cos\theta,\quad y=\rho\sin\theta= \sin\theta,\quad z=\theta.
Assim o ponto varia conforme o parâmetro \theta, descrevendo
\bigl(x(\theta),y(\theta),z(\theta)\bigr) =\bigl(\cos\theta,\;\sin\theta,\;\theta\bigr), \quad \theta\in[0,2\pi].
Este é o traço clássico de uma hélice circular de raio 1 com uma volta completa (de z=0 até z=2\pi).

Resposta

Trata-se de uma hélice circular de raio 1 que dá uma volta completa ao redor do eixo z, subindo de z=0 até z=2\pi.

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