Identifique se as soluções dadas atendem as seguintes equações diferenciais e se a combinação linear delas pode ser empregada para formar a solução geral. Obs: Quando a divisão y1 / y2 não gerar uma constante, y1 e y2 são linearmente independentes.
y^prime prime-2 y^prime+y=0 ; y1(t)=e^t, y2(t)=t e^t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + y = 0
e propõe as funções
y1(t) = e^t, y2(t) = t,e^t
Precisamos verificar se cada yi satisfaz a equação e se elas são linearmente independentes, para então usar combinação linear e obter a solução geral.

Passo 2

Verificação de y1(t)=e^t. Calculamos
y1'(t)=e^t, y1''(t)=e^t
e substituímos na equação:
y1''-2y1'+y1 = e^t -2e^t + e^t = 0
Logo, y1 é solução.

Passo 3

Verificação de y2(t)=t,e^t. Calculamos
y2'(t) = e^t + t,e^t, y2''(t) = e^t + (e^t + t,e^t) = 2e^t + t,e^t
Substituindo:
y2''-2y2'+y2 = (2e^t + t,e^t) -2(e^t + t,e^t) + t,e^t =0
Portanto, y2 também satisfaz a equação.

Passo 4

Verificação de independência linear. Note que a razão
y2y1 = t,e^te^t = t
não é constante, logo y1 e y2 são linearmente independentes. Alternativamente, o Wronskiano é
W(y1,y2)(t) = e^t & t,e^t e^t & (1+t)e^t = e^2tneq0

Passo 5

Como y1 e y2 são duas soluções linearmente independentes de uma equação diferencial de segunda ordem, a combinação linear delas gera a solução geral:
y(t) = C1,e^t + C2,t,e^t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

As funções y1(t)=e^t e y2(t)=t,e^t satisfazem a equação diferencial e são linearmente independentes, de modo que a solução geral é
y(t) = C1,e^t + C2,t,e^t

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