Identifique se as soluções dadas atendem as seguintes equações diferenciais e se a combinação linear delas pode ser empregada para formar a solução geral. Obs: Quando a divisão não gerar uma constante, são linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
e propõe as funções
Precisamos verificar se cada satisfaz a equação e se elas são linearmente independentes, para então usar combinação linear e obter a solução geral.
Passo 2
Verificação de . Calculamos
e substituímos na equação:
Logo, é solução.
Passo 3
Verificação de . Calculamos
Substituindo:
Portanto, também satisfaz a equação.
Passo 4
Verificação de independência linear. Note que a razão
não é constante, logo e são linearmente independentes. Alternativamente, o Wronskiano é
Passo 5
Como y1 e y2 são duas soluções linearmente independentes de uma equação diferencial de segunda ordem, a combinação linear delas gera a solução geral:
y(t) = C1,e^t + C2,t,e^t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.
Resposta
As funções y1(t)=e^t e y2(t)=t,e^t satisfazem a equação diferencial e são linearmente independentes, de modo que a solução geral é