Questão 22. Determine a posição relativa e o ângulo entre os planos
.
Questão 23. Encontre o ângulo entre o plano
e o plano que passa pelo ponto
e é perpendicular ao vetor
.
Questão 23. Encontre o ângulo entre o plano
Passo 1
Para a Questão 22 o enunciado pede a posição relativa e o ângulo entre os planos
e
.
O que precisamos aqui é extrair os vetores normais de cada plano, verificar se são paralelos (colineares) e, caso não sejam, calcular o ângulo entre eles via produto escalar.
O que precisamos aqui é extrair os vetores normais de cada plano, verificar se são paralelos (colineares) e, caso não sejam, calcular o ângulo entre eles via produto escalar.
Passo 2
O vetor normal de
é
e o de é
.
Para testar paralelismo basta ver se existe tal que
. Como não há escalar que satisfaça simultaneamente
,
e
, concluímos que os planos não são paralelos e, portanto, se intersectam ao longo de uma reta.
e o de
Para testar paralelismo basta ver se existe
Passo 3
O ângulo
entre dois planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais. Usamos
Calculamos
Logo
de onde
.
Passo 4
Para a Questão 23 queremos o ângulo entre o plano
e o plano que passa por
e é perpendicular ao vetor
.
Sabendo que a reta perpendicular a um plano é paralela ao seu normal, concluímos que o vetor normal de é
. O ponto
só serve para definir a posição, mas não afeta o ângulo.
e o plano
Sabendo que a reta perpendicular a um plano é paralela ao seu normal, concluímos que o vetor normal de
Passo 5
Chamemos
o normal de
e
o do outro plano. Então
Logo
de onde
.
Resposta
Questão 22: os planos são concorrentes (intersectam-se numa reta) e o ângulo entre eles é
.
Questão 23: o ângulo entre os planos é .
Questão 23: o ângulo entre os planos é