Questão 22. Determine a posição relativa e o ângulo entre os planos pi1:-x-2 y+z=3 e pi2: x+y=0.
Questão 23. Encontre o ângulo entre o plano 2 x-y+z=0 e o plano que passa pelo ponto P(1,2,3) e é perpendicular ao vetor i-2 j+k.

Passo 1

Para a Questão 22 o enunciado pede a posição relativa e o ângulo entre os planos
pi1:,-x-2y+z=3 e pi2:,x+y=0.
O que precisamos aqui é extrair os vetores normais de cada plano, verificar se são paralelos (colineares) e, caso não sejam, calcular o ângulo entre eles via produto escalar.

Passo 2

O vetor normal de pi1 é
vec n1=(-1,,-2,,1)
e o de pi2 é
vec n2=(1,,1,,0).
Para testar paralelismo basta ver se existe lambda tal que vec n1=lambdavec n2. Como não há escalar que satisfaça simultaneamente
-1=lambda, -2=lambda e 1=0cdotlambda, concluímos que os planos não são paralelos e, portanto, se intersectam ao longo de uma reta.

Passo 3

O ângulo theta entre dois planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais. Usamos
costheta =|vec n1cdotvec n2||vec n1|;|vec n2|
Calculamos
vec n1cdotvec n2 =(-1)cdot1+(-2)cdot1+1cdot0=-3, |vec n1|=raiz(-1)^2+(-2)^2+1^2=raiz6, |vec n2|=raiz1^2+1^2+0^2=raiz2
Logo
costheta =|-3|raiz6,raiz2 =3raiz12 =32raiz3 =raiz32,
de onde theta=30^circ.

Passo 4

Para a Questão 23 queremos o ângulo entre o plano
pi1:,2x-y+z=0
e o plano pi2 que passa por P(1,2,3) e é perpendicular ao vetor
vec v=vec i-2vec j+vec k.
Sabendo que a reta perpendicular a um plano é paralela ao seu normal, concluímos que o vetor normal de pi2 é
vec n2=(1,,-2,,1). O ponto P só serve para definir a posição, mas não afeta o ângulo.

Passo 5

Chamemos vec n1=(2,-1,1) o normal de 2x-y+z=0 e vec n2=(1,-2,1) o do outro plano. Então
vec n1cdotvec n2 =2cdot1+(-1)cdot(-2)+1cdot1=2+2+1=5,
|vec n1| =raiz2^2+(-1)^2+1^2 =raiz6, |vec n2| =raiz1^2+(-2)^2+1^2 =raiz6
Logo
cosphi =|vec n1cdotvec n2||vec n1|;|vec n2| =56,
de onde phi=arccos!l(tfrac56r)approx33,56^circ.

Resposta

Questão 22: os planos são concorrentes (intersectam-se numa reta) e o ângulo entre eles é 30^circ.
Questão 23: o ângulo entre os planos é arccos!l(tfrac56r)approx33,56^circ.

Exercícios relacionados